Страница 109 номер 11.25, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
В правильную усечённую четырёхугольную пирамиду вписан усечённый конус, радиусы оснований которого равны 5 см и 7 см, а угол между образующей и плоскостью большего основания равен \(45^\circ\). Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — правильная усечённая пирамида, описанная около усечённого конуса
\(R = 7\) см, \(r = 5\) см — радиусы оснований усечённого конуса
угол между образующей и плоскостью большего основания — \(45^\circ\)
Найти: \(S_{\text{бок}}\) усечённой пирамиды.
Решение: Основания усечённой пирамиды, описанной около усечённого конуса, описаны около оснований усечённого конуса, а боковые грани пирамиды проходят через образующие усечённого конуса. Пусть \(ABCD\) — большее основание пирамиды, \(O\) и \(O_1\) — центры большего и меньшего оснований усечённого конуса. Сторона квадрата, описанного около окружности, равна её диаметру: \(AB = 2R = 14\) см, \(A_1B_1 = 2r = 10\) см.
Окружность, вписанная в квадрат, касается его сторон в их серединах; пусть \(M\) и \(M_1\) — середины сторон \(AB\) и \(A_1B_1\). Грань \(AA_1B_1B\) проходит через образующую усечённого конуса; концы этой образующей лежат на окружностях оснований и в плоскости грани, то есть на прямых \(AB\) и \(A_1B_1\), — значит, это образующая \(MM_1\). Грань \(AA_1B_1B\) — равнобокая трапеция, а \(MM_1\) соединяет середины её оснований, поэтому \(MM_1 \perp AB\) и \(MM_1\) — высота грани.
Образующая \(MM_1\) служит боковой стороной осевого сечения, проходящего через точку \(M\); в плоскости этого сечения лежат ось \(OO_1\) и радиусы \(OM = R\), \(O_1M_1 = r\). Плоскость сечения пересекает параллельные плоскости оснований по параллельным прямым, поэтому \(O_1M_1 \parallel OM\), а \(OO_1 \perp OM\), так как ось перпендикулярна плоскостям оснований. Проведём \(M_1H \perp OM\). Четырёхугольник \(OHM_1O_1\) — прямоугольник, поэтому \(OH = O_1M_1 = 5\) см и \(M_1H \parallel OO_1\), то есть прямая \(M_1H\) перпендикулярна плоскости \(ABC\). Значит, \(MH\) — проекция образующей \(MM_1\) на плоскость большего основания и \(\angle M_1MH = 45^\circ\); \(MH = OM - OH = 7 - 5 = 2\) (см).
Прямоугольный треугольник \(MHM_1\) с острым углом \(45^\circ\) равнобедренный: \(M_1H = MH = 2\) см, \(MM_1 = MH\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\) см. Боковые грани правильной усечённой пирамиды — четыре равные трапеции с высотой \(MM_1\):
\[S_{\text{бок}} = 4 \cdot \frac{AB + A_1B_1}{2} \cdot MM_1 = 4 \cdot \frac{14 + 10}{2} \cdot 2\sqrt{2} = 96\sqrt{2} \text{ (см}^2\text{)}.\]
Ответ: \(96\sqrt{2}\) см\(^2\).
