Самостоятельная работа 16 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка
1) Область определения: \(x + 7 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant -7\).
Замена \(\sqrt[4]{x + 7} = t\), \(t \geqslant 0\); так как \(x + 7 \geqslant 0\), то \(t^2 = \left(\sqrt[4]{x + 7}\right)^{2} = \sqrt[4]{(x + 7)^2} = \sqrt{x + 7}\), и уравнение принимает вид \(t^2 = 12 - 4t\); \(t^2 + 4t - 12 = 0\); \(t = 2\) или \(t = -6\).
Условию \(t \geqslant 0\) удовлетворяет только \(t = 2\), поэтому \(\sqrt[4]{x + 7} = 2\); \(x + 7 = 16\); \(x = 9\).
2) Подкоренные выражения — взаимно обратные дроби, поэтому каждое из них должно быть положительным: \(\frac{x + 2}{1 - x} > 0\), то есть \((x + 2)(1 - x) > 0\); область определения — промежуток \(-2 < x < 1\).
Замена \(\sqrt{\frac{x + 2}{1 - x}} = t\), \(t > 0\); на области определения оба подкоренных выражения неотрицательны, поэтому \(\sqrt{\frac{x + 2}{1 - x}} \cdot \sqrt{\frac{1 - x}{x + 2}} = \sqrt{1} = 1\), то есть \(\sqrt{\frac{1 - x}{x + 2}} = \frac{1}{t}\).
Уравнение принимает вид \(3t - \frac{1}{t} = 2\); умножив обе части на положительное число \(t\), получаем \(3t^2 - 2t - 1 = 0\); \(D = 4 + 12 = 16\); \(t = 1\) или \(t = -\frac{1}{3}\).
Условию \(t > 0\) удовлетворяет только \(t = 1\), поэтому \(\sqrt{\frac{x + 2}{1 - x}} = 1\); \(\frac{x + 2}{1 - x} = 1\); \(x + 2 = 1 - x\); \(2x = -1\); \(x = -0{,}5\). Число \(-0{,}5\) лежит между числами \(-2\) и \(1\), значит, области определения принадлежит.
3) Подкоренное выражение \(x^2 + 3x + 5 = \left(x + \frac{3}{2}\right)^{2} + \frac{11}{4}\) положительно при любом значении переменной, поэтому область определения — множество всех действительных чисел.
Замена \(\sqrt{x^2 + 3x + 5} = t\), \(t \geqslant 0\); тогда \(x^2 + 3x = t^2 - 5\) и \(2x^2 + 6x = 2t^2 - 10\), поэтому уравнение принимает вид \(2t^2 - 10 + t = 11\); \(2t^2 + t - 21 = 0\); \(D = 1 + 168 = 169\); \(t = 3\) или \(t = -3{,}5\).
Условию \(t \geqslant 0\) удовлетворяет только \(t = 3\), поэтому \(\sqrt{x^2 + 3x + 5} = 3\); \(x^2 + 3x + 5 = 9\); \(x^2 + 3x - 4 = 0\); \(x = 1\) или \(x = -4\).
4) Замена \(\sqrt[3]{x} = a\), \(\sqrt[3]{y} = b\); условий неотрицательности здесь нет, так как корень нечётной степени определён при любом подкоренном выражении. Тогда \(x = a^3\), \(y = b^3\) и \((ab)^3 = a^3b^3 = xy = -64\), откуда \(ab = -4\) (кубический корень из числа \(-64\) единственный).
Система принимает вид \(\begin{cases} a + b = -3, \\ ab = -4. \end{cases}\) Числа \(a\) и \(b\) — корни уравнения \(z^2 + 3z - 4 = 0\), то есть числа \(1\) и \(-4\), значит, \(\begin{cases} a = 1, \\ b = -4 \end{cases}\) или \(\begin{cases} a = -4, \\ b = 1. \end{cases}\)
Возврат по формулам \(x = a^3\), \(y = b^3\): в первом случае \(x = 1\), \(y = -64\); во втором \(x = -64\), \(y = 1\).
5) Замена \(\sqrt[3]{x + 2} = a\), \(\sqrt[3]{7 - x} = b\); тогда \(a + b = 3\) и \(a^3 + b^3 = (x + 2) + (7 - x) = 9\).
Так как \(a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)\), то \(9 = 27 - 3ab \cdot 3\); \(9ab = 18\); \(ab = 2\).
Числа \(a\) и \(b\) — корни уравнения \(z^2 - 3z + 2 = 0\), то есть числа \(1\) и \(2\), значит, \(\begin{cases} a = 1, \\ b = 2 \end{cases}\) или \(\begin{cases} a = 2, \\ b = 1. \end{cases}\) В первом случае \(\sqrt[3]{x + 2} = 1\); \(x + 2 = 1\); \(x = -1\); во втором \(\sqrt[3]{x + 2} = 2\); \(x + 2 = 8\); \(x = 6\).
Возведение суммы в куб опирается на само уравнение, поэтому полученные числа нужно проверить.
Проверка: при \(x = -1\) имеем \(\sqrt[3]{-1 + 2} + \sqrt[3]{7 + 1} = 1 + 2 = 3\); при \(x = 6\) имеем \(\sqrt[3]{6 + 2} + \sqrt[3]{7 - 6} = 2 + 1 = 3\). Оба равенства верные, значит, оба числа — корни.
Ответ: 1) \(9\); 2) \(-0{,}5\); 3) \(-4\); \(1\); 4) \((1;\ -64)\), \((-64;\ 1)\); 5) \(-1\); \(6\).
1) Область определения уравнения задаётся условием \(x + 7 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant -7\).
Пусть \(\sqrt[4]{x + 7} = t\), где \(t \geqslant 0\). Так как \(x + 7 \geqslant 0\), то \(t^2 = \left(\sqrt[4]{x + 7}\right)^{2} = \sqrt[4]{(x + 7)^2} = \sqrt{x + 7}\), и уравнение принимает вид \(t^2 = 12 - 4t\). Отсюда \(t^2 + 4t - 12 = 0\); \(t = 2\) или \(t = -6\).
Так как \(t \geqslant 0\), то подходит только \(t = 2\). Следовательно, данное уравнение равносильно такому: \(\sqrt[4]{x + 7} = 2\). Отсюда \(x + 7 = 16\); \(x = 9\).
2) Подкоренные выражения — взаимно обратные дроби, поэтому каждое из них должно быть положительным: \(\frac{x + 2}{1 - x} > 0\). Дробь положительна там, где произведение \((x + 2)(1 - x)\) положительно, то есть при \(-2 < x < 1\); это и есть область определения уравнения.
Пусть \(\sqrt{\frac{x + 2}{1 - x}} = t\), где \(t > 0\). На области определения оба подкоренных выражения неотрицательны, поэтому по свойству корня из произведения \(\sqrt{\frac{x + 2}{1 - x}} \cdot \sqrt{\frac{1 - x}{x + 2}} = \sqrt{1} = 1\), то есть \(\sqrt{\frac{1 - x}{x + 2}} = \frac{1}{t}\).
Уравнение принимает вид \(3t - \frac{1}{t} = 2\). Умножив обе части на положительное число \(t\), получаем \(3t^2 - 2t - 1 = 0\); \(D = 4 + 12 = 16\); \(t = 1\) или \(t = -\frac{1}{3}\).
Условию \(t > 0\) удовлетворяет только \(t = 1\), поэтому данное уравнение равносильно такому: \(\sqrt{\frac{x + 2}{1 - x}} = 1\). Отсюда \(\frac{x + 2}{1 - x} = 1\); \(x + 2 = 1 - x\); \(2x = -1\); \(x = -0{,}5\). Число \(-0{,}5\) лежит между числами \(-2\) и \(1\), значит, оно принадлежит области определения.
3) Подкоренное выражение \(x^2 + 3x + 5 = \left(x + \frac{3}{2}\right)^{2} + \frac{11}{4}\) положительно при любом значении переменной, поэтому область определения уравнения — множество всех действительных чисел.
Пусть \(\sqrt{x^2 + 3x + 5} = t\), где \(t \geqslant 0\). Тогда \(x^2 + 3x = t^2 - 5\), поэтому \(2x^2 + 6x = 2t^2 - 10\), и уравнение принимает вид \(2t^2 - 10 + t = 11\). Отсюда \(2t^2 + t - 21 = 0\); \(D = 1 + 168 = 169\); \(t = 3\) или \(t = -3{,}5\).
Так как \(t \geqslant 0\), то подходит только \(t = 3\). Следовательно, данное уравнение равносильно такому: \(\sqrt{x^2 + 3x + 5} = 3\). Отсюда \(x^2 + 3x + 5 = 9\); \(x^2 + 3x - 4 = 0\); \(x = 1\) или \(x = -4\).
4) Пусть \(\sqrt[3]{x} = a\), \(\sqrt[3]{y} = b\); условий неотрицательности здесь нет, так как корень нечётной степени определён при любом значении подкоренного выражения. Тогда \(x = a^3\), \(y = b^3\) и \((ab)^3 = a^3b^3 = xy = -64\), откуда \(ab = -4\) (кубический корень из числа \(-64\) единственный).
Система принимает вид \(\begin{cases} a + b = -3, \\ ab = -4. \end{cases}\)
Числа \(a\) и \(b\) — корни уравнения \(z^2 + 3z - 4 = 0\), то есть числа \(1\) и \(-4\). Значит, \(\begin{cases} a = 1, \\ b = -4 \end{cases}\) или \(\begin{cases} a = -4, \\ b = 1. \end{cases}\)
Возвращаясь к переменным \(x\) и \(y\), получаем \(x = a^3\) и \(y = b^3\): в первом случае \(x = 1\), \(y = -64\); во втором случае \(x = -64\), \(y = 1\).
5) Пусть \(\sqrt[3]{x + 2} = a\), \(\sqrt[3]{7 - x} = b\). Тогда \(a + b = 3\) и \(a^3 + b^3 = (x + 2) + (7 - x) = 9\).
Так как \(a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)\), то \(9 = 27 - 3ab \cdot 3\); \(9ab = 18\); \(ab = 2\).
Числа \(a\) и \(b\) — корни уравнения \(z^2 - 3z + 2 = 0\), то есть числа \(1\) и \(2\). Значит, \(\begin{cases} a = 1, \\ b = 2 \end{cases}\) или \(\begin{cases} a = 2, \\ b = 1. \end{cases}\)
В первом случае из равенства \(\sqrt[3]{x + 2} = 1\) получаем \(x + 2 = 1\); \(x = -1\). Во втором случае из равенства \(\sqrt[3]{x + 2} = 2\) получаем \(x + 2 = 8\); \(x = 6\).
Возведение суммы в куб опирается на само уравнение, поэтому полученные числа нужно проверить.
Проверка: при \(x = -1\) имеем \(\sqrt[3]{-1 + 2} + \sqrt[3]{7 + 1} = 1 + 2 = 3\); при \(x = 6\) имеем \(\sqrt[3]{6 + 2} + \sqrt[3]{7 - 6} = 2 + 1 = 3\). Оба равенства верные, значит, оба числа — корни.
Ответ: 1) \(9\); 2) \(-0{,}5\); 3) \(-4\); \(1\); 4) \((1;\ -64)\), \((-64;\ 1)\); 5) \(-1\); \(6\).
