Самостоятельная работа 15 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Обе части уравнения — корни десятой, то есть чётной, степени. Уравнение вида «корень чётной степени равен корню той же степени» равносильно системе: подкоренные выражения равны и одно из них неотрицательно (условие ставим на то из них, неравенство с которым решается легче): \[\begin{cases} x^2 + 3x - 13 = 1 - 2x, \\ 1 - 2x \geqslant 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x^2 + 5x - 14 = 0, \\ x \leqslant \frac{1}{2}; \end{cases} \quad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = 2, \\ x = -7, \end{array}\right. \\ x \leqslant \frac{1}{2}; \end{cases} \quad x = -7.\]

Число \(2\) условию \(x \leqslant \frac{1}{2}\) не удовлетворяет, поэтому корнем данного уравнения оно не является.

2) Уравнение вида «квадратный корень равен выражению» равносильно системе: подкоренное выражение равно квадрату правой части, а правая часть неотрицательна: \[\begin{cases} x + 11 = (9 - x)^2, \\ 9 - x \geqslant 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x^2 - 19x + 70 = 0, \\ x \leqslant 9; \end{cases} \quad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = 5, \\ x = 14, \end{array}\right. \\ x \leqslant 9; \end{cases} \quad x = 5.\]

Число \(14\) условию \(x \leqslant 9\) не удовлетворяет — это посторонний корень, в ответ он не входит.

3) Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель; сокращать обе части на \(x + 2\) нельзя: этот множитель обращается в нуль при \(x = -2\), и при сокращении корень может быть потерян: \[(x + 2)\sqrt{x^2 + 2x - 6} - 3(x + 2) = 0; \quad (x + 2)\left(\sqrt{x^2 + 2x - 6} - 3\right) = 0.\]

Область определения уравнения задаётся условием \(x^2 + 2x - 6 \geqslant 0\). Корни трёхчлена: \(D = 4 + 24 = 28\), \(x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -1 \pm \sqrt{7}\). Ветви параболы направлены вверх, поэтому область определения — множество \(x \leqslant -1 - \sqrt{7}\) или \(x \geqslant -1 + \sqrt{7}\).

На этом множестве уравнение равносильно совокупности \(\left[\begin{array}{l} x + 2 = 0, \\ \sqrt{x^2 + 2x - 6} = 3. \end{array}\right.\)

Число \(-2\) области определения не принадлежит (при \(x = -2\) подкоренное выражение равно \(-6\)), поэтому корнем данного уравнения оно не является.

Правая часть второго уравнения совокупности положительна, поэтому оно равносильно уравнению \(x^2 + 2x - 6 = 9\); \(x^2 + 2x - 15 = 0\); \(x = -5\) или \(x = 3\). Оба числа принадлежат области определения: при каждом из них подкоренное выражение равно \(9\).

4) Область определения уравнения задаётся системой \(\begin{cases} x + 13 \geqslant 0, \\ x - 2 \geqslant 0; \end{cases}\) то есть это множество \(M = [2;\ +\infty)\).

Уединим радикал: \(\sqrt{x + 13} = 3 + \sqrt{x - 2}\). На множестве \(M\) обе части последнего уравнения принимают неотрицательные значения, поэтому возведение в квадрат даёт уравнение, равносильное ему на \(M\): \[x + 13 = 9 + 6\sqrt{x - 2} + x - 2; \quad 6\sqrt{x - 2} = 6; \quad \sqrt{x - 2} = 1.\]

Отсюда \(x - 2 = 1\); \(x = 3\). Число \(3\) принадлежит множеству \(M\).

5) Область определения уравнения задаётся условием \(x + 2 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant -2\); при этом условии оба выражения под внешними радикалами неотрицательны, так как окажутся полными квадратами.

Свернём подкоренные выражения в квадраты: \[x + 3 + 2\sqrt{x + 2} = (x + 2) + 2\sqrt{x + 2} + 1 = \left(\sqrt{x + 2} + 1\right)^{2},\] \[x + 3 - 2\sqrt{x + 2} = (x + 2) - 2\sqrt{x + 2} + 1 = \left(\sqrt{x + 2} - 1\right)^{2}.\]

Квадратный корень из квадрата равен модулю основания, поэтому уравнение принимает вид \(\left|\sqrt{x + 2} + 1\right| + \left|\sqrt{x + 2} - 1\right| = 4\). Первый модуль раскрывается сразу: \(\sqrt{x + 2} + 1 > 0\). Для второго рассмотрим два случая.

Если \(-2 \leqslant x \leqslant -1\), то \(0 \leqslant \sqrt{x + 2} \leqslant 1\) и второй модуль равен \(1 - \sqrt{x + 2}\). Тогда левая часть равна \(\sqrt{x + 2} + 1 + 1 - \sqrt{x + 2} = 2\), а равенство \(2 = 4\) неверно: на этом промежутке корней нет.

Если \(x > -1\), то \(\sqrt{x + 2} > 1\) и второй модуль равен \(\sqrt{x + 2} - 1\). Тогда левая часть равна \(2\sqrt{x + 2}\), и уравнение принимает вид \(2\sqrt{x + 2} = 4\); \(\sqrt{x + 2} = 2\); \(x + 2 = 4\); \(x = 2\). Число \(2\) больше \(-1\), значит, оно принадлежит рассматриваемому промежутку и является корнем.

Ответ: 1) \(-7\); 2) \(5\); 3) \(-5\); \(3\); 4) \(3\); 5) \(2\).