Самостоятельная работа 10 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Показатель степени функции \(f(x) = x^{-18}\) — целое отрицательное число, а число \(18\) — чётное натуральное. Значит, областью определения функции служит множество \((-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\), функция чётная, возрастает на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и убывает на промежутке \((0;\ +\infty)\).

1) Числа \(1{,}2\) и \(3{,}1\) лежат на промежутке \((0;\ +\infty)\), где функция убывает, и \(1{,}2 < 3{,}1\), поэтому \(f(1{,}2) > f(3{,}1)\).

2) Числа \(-3{,}6\) и \(-2{,}7\) лежат на промежутке \((-\infty;\ 0)\), где функция возрастает, и \(-3{,}6 < -2{,}7\), поэтому \(f(-3{,}6) < f(-2{,}7)\).

3) Функция чётная, поэтому \(f(-7{,}6) = f(7{,}6)\): сравниваемые значения равны.

4) По чётности \(f(-21) = f(21)\). Числа \(8\) и \(21\) лежат на промежутке \((0;\ +\infty)\), где функция убывает, и \(8 < 21\), поэтому \(f(21) < f(8)\). Значит, \(f(-21) < f(8)\).

Ответ: 1) \(f(1{,}2) > f(3{,}1)\); 2) \(f(-3{,}6) < f(-2{,}7)\); 3) \(f(-7{,}6) = f(7{,}6)\); 4) \(f(-21) < f(8)\).

1) Выражение \(\left(\sqrt{x - 4}\right)^0\) имеет смысл тогда, когда определён квадратный корень и основание степени отлично от нуля: \(x - 4 \geqslant 0\) и \(\sqrt{x - 4} \ne 0\). Равенство \(\sqrt{x - 4} = 0\) выполняется при \(x = 4\), поэтому оба условия вместе дают \(x - 4 > 0\), то есть \(D(y) = (4;\ +\infty)\). На всей области определения \(y = 1\).

График — луч прямой \(y = 1\), идущий вправо от точки \((4;\ 1)\); сама точка \((4;\ 1)\) выколота, потому что число \(4\) в область определения не входит.

2) Выражение \(\left(x^{-1}\right)^{-2}\) определено при \(x \ne 0\), поэтому \(D(y) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\). По свойству степени с целым показателем \(\left(x^{-1}\right)^{-2} = x^{(-1) \cdot (-2)} = x^{2}\), значит, на своей области определения \(y = x^2\).

График — парабола \(y = x^2\), из которой удалена точка \((0;\ 0)\): число \(0\) в область определения не входит, поэтому эта точка выколота.

1) Первое уравнение системы задаёт функцию \(y = x^{-5}\). Показатель степени \(-5\) — целое отрицательное число, а число \(5\) — нечётное натуральное, поэтому функция определена при \(x \ne 0\), отрицательна на промежутке \((-\infty;\ 0)\), положительна на промежутке \((0;\ +\infty)\) и убывает на каждом из них: её ветвь при \(x < 0\) лежит в третьей координатной четверти, ветвь при \(x > 0\) — в первой. Второе уравнение задаёт прямую \(y = -x + 3\), проходящую через точки \((0;\ 3)\) и \((3;\ 0)\).

При \(x < 0\) кривая лежит ниже оси абсцисс, а прямая — выше неё (при \(x < 0\) выполняется \(-x + 3 > 3\)), поэтому в третьей четверти общих точек нет. При \(x > 3\) прямая лежит ниже оси абсцисс, а кривая — выше, поэтому общих точек нет и там.

На промежутке \((0;\ 3]\) чертёж показывает две общие точки. Первая видна ясно: при \(x = 0{,}5\) кривая даёт \(32\), а прямая \(2{,}5\) — кривая выше прямой; при \(x = 1\) кривая даёт \(1\), а прямая \(2\) — кривая ниже прямой, значит, между числами \(0{,}5\) и \(1\) графики пересекаются. Вторая на чертеже сливается с точкой \((3;\ 0)\), и её существование показывает счёт: при \(x = 2{,}9\) кривая даёт \(\frac{1}{2{,}9^5}\), а \(2{,}9^5 > 100\), поэтому это значение меньше \(0{,}01\), тогда как прямая даёт \(0{,}1\) — кривая ниже прямой; при \(x = 3\) кривая даёт \(\frac{1}{243}\), а прямая \(0\) — кривая выше прямой. Значит, между числами \(2{,}9\) и \(3\) графики пересекаются.

Всего у графиков две общие точки, поэтому система имеет два решения.

2) Первое уравнение системы задаёт функцию \(y = -x^{-6}\). Число \(6\) — чётное натуральное, поэтому \(x^{-6} > 0\) при каждом \(x \ne 0\), и обе ветви кривой \(y = -x^{-6}\) лежат ниже оси абсцисс. Функция \(y = x^{-6}\) возрастает на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и убывает на промежутке \((0;\ +\infty)\). Если числа \(x_1 < x_2\) лежат на промежутке \((-\infty;\ 0)\), то \(x_1^{-6} < x_2^{-6}\), а тогда \(-x_1^{-6} > -x_2^{-6}\); если же они лежат на промежутке \((0;\ +\infty)\), то \(x_1^{-6} > x_2^{-6}\), а тогда \(-x_1^{-6} < -x_2^{-6}\). Значит, функция \(y = -x^{-6}\) убывает на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и возрастает на промежутке \((0;\ +\infty)\). Второе уравнение задаёт функцию \(y = -\sqrt{x + 4}\): она определена при \(x \geqslant -4\), убывает, а её график выходит из точки \((-4;\ 0)\) и идёт вправо вниз.

На промежутке \((0;\ +\infty)\) кривая возрастает, а дуга убывает, поэтому общих точек там не больше одной. Такая точка есть: при \(x = 0{,}5\) кривая даёт \(-64\), а дуга \(-\sqrt{4{,}5}\), и \(\sqrt{4{,}5} < 3\) — кривая ниже дуги; при \(x = 2\) кривая даёт \(-\frac{1}{64}\), а дуга \(-\sqrt{6}\), и \(\sqrt{6} > 2\) — кривая выше дуги.

На промежутке \([-4;\ 0)\) чертёж показывает две общие точки. Первая на чертеже сливается с точкой \((-4;\ 0)\), и её существование показывает счёт: при \(x = -4\) кривая даёт \(-\frac{1}{4096}\), а дуга \(0\) — кривая ниже дуги; при \(x = -3{,}9\) кривая даёт \(-\frac{1}{3{,}9^6}\), а \(3{,}9^6 > 1000\), поэтому это значение больше \(-0{,}001\), тогда как дуга даёт \(-\sqrt{0{,}1}\), и \(\sqrt{0{,}1} > 0{,}3\) — кривая выше дуги. Значит, между числами \(-4\) и \(-3{,}9\) графики пересекаются. Вторая точка видна на чертеже ясно: при \(x = -1\) кривая даёт \(-1\), а дуга \(-\sqrt{3}\), и \(\sqrt{3} > 1\) — кривая выше дуги; при \(x = -0{,}5\) кривая даёт \(-64\), а дуга \(-\sqrt{3{,}5}\), и \(\sqrt{3{,}5} < 2\) — кривая ниже дуги.

Всего у графиков три общие точки, поэтому система имеет три решения.

Ответ: 1) два решения; 2) три решения.

Функция \(f(x) = x^{-n}\), где \(n \in \mathbf{N}\), определена при \(x \ne 0\). При чётном \(n\) она чётная, возрастает на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и убывает на промежутке \((0;\ +\infty)\); при нечётном \(n\) она нечётная и убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\).

1) Числа \(-12\) и \(-10\) лежат на промежутке \((-\infty;\ 0)\). При чётном \(n\) функция на этом промежутке возрастает, и из \(-12 < -10\) следует \(f(-12) < f(-10)\) — данное неравенство выполняется. При нечётном \(n\) функция на этом промежутке убывает, и из \(-12 < -10\) следует \(f(-12) > f(-10)\), то есть данное неравенство не выполняется. Значит, число \(n\) чётное.

2) При чётном \(n\) имеем \(f(-12) = \frac{1}{(-12)^n} = \frac{1}{12^n}\) и \(f(10) = \frac{1}{10^n}\); так как \(12^n > 10^n\), то \(\frac{1}{12^n} < \frac{1}{10^n}\), и неравенство \(f(-12) < f(10)\) выполняется. При нечётном \(n\) имеем \(f(-12) = \frac{1}{(-12)^n} = -\frac{1}{12^n} < 0\) и \(f(10) = \frac{1}{10^n} > 0\), и неравенство \(f(-12) < f(10)\) тоже выполняется. Например, при \(n = 1\) получаем \(-\frac{1}{12} < \frac{1}{10}\), а при \(n = 2\) получаем \(\frac{1}{144} < \frac{1}{100}\) — оба неравенства верны. Данное неравенство выполняется при любом натуральном \(n\), поэтому чётность числа \(n\) по нему определить невозможно.

3) Как показано в пункте 1), неравенство \(f(-12) > f(-10)\) выполняется при нечётном \(n\) и не выполняется при чётном. Значит, число \(n\) нечётное.

4) При чётном \(n\) имеем \(f(-12) = \frac{1}{12^n}\) и \(f(10) = \frac{1}{10^n}\); так как \(\frac{1}{12^n} < \frac{1}{10^n}\), неравенство \(f(-12) > f(10)\) не выполняется. При нечётном \(n\) имеем \(f(-12) = -\frac{1}{12^n} < 0\) и \(f(10) = \frac{1}{10^n} > 0\), то есть \(f(-12) < f(10)\), и данное неравенство не выполняется тоже. Значит, натурального числа \(n\), при котором \(f(-12) > f(10)\), не существует: при любом натуральном \(n\) выполняется \(f(-12) < f(10)\).

Ответ: 1) число \(n\) чётное; 2) чётность числа \(n\) определить невозможно: неравенство \(f(-12) < f(10)\) выполняется при любом натуральном \(n\); 3) число \(n\) нечётное; 4) такого натурального числа \(n\) не существует: при любом натуральном \(n\) выполняется \(f(-12) < f(10)\).