Самостоятельная работа 23 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Нули функции \(y = \mathrm{tg}\,x\) — числа вида \(\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Выберем из них те, которые принадлежат данному промежутку: из двойного неравенства \(-\frac{\pi}{4} \leqslant \pi n \leqslant \frac{3\pi}{4}\) получаем \(-\frac{1}{4} \leqslant n \leqslant \frac{3}{4}\). Этому условию удовлетворяет единственное целое число \(n = 0\), которому отвечает \(x = 0\).

2) Область определения функции \(y = \mathrm{tg}\,x\) — множество \(\left\{x \in \mathbf{R} \mid x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in \mathbf{Z}\right\}\), то есть ей не принадлежат числа вида \(\frac{\pi}{2} + \pi n\). Из двойного неравенства \(-\frac{\pi}{4} \leqslant \frac{\pi}{2} + \pi n \leqslant \frac{3\pi}{4}\) получаем \(-\frac{1}{4} \leqslant \frac{1}{2} + n \leqslant \frac{3}{4}\), откуда \(-\frac{3}{4} \leqslant n \leqslant \frac{1}{4}\). Целое значение здесь одно: \(n = 0\), и ему отвечает \(x = \frac{\pi}{2}\).

Ответ: 1) единственный нуль функции \(y = \mathrm{tg}\,x\) на данном промежутке — число \(0\); 2) области определения функции \(y = \mathrm{tg}\,x\) не принадлежит одно число этого промежутка — \(\frac{\pi}{2}\).

1) Функция \(y = \mathrm{tg}\,x\) возрастает на промежутке \((-90^\circ;\ 90^\circ)\), а \(43^\circ < 45^\circ\), поэтому \(\mathrm{tg}\,43^\circ < \mathrm{tg}\,45^\circ = 1\). Функция \(y = \mathrm{ctg}\,x\) убывает на промежутке \((0^\circ;\ 180^\circ)\), а \(43^\circ < 45^\circ\), поэтому \(\mathrm{ctg}\,43^\circ > \mathrm{ctg}\,45^\circ = 1\). Значит, \(\mathrm{tg}\,43^\circ < 1 < \mathrm{ctg}\,43^\circ\).

2) Функция \(y = \mathrm{ctg}\,x\) убывает на промежутке \((0^\circ;\ 180^\circ)\), а \(28^\circ < 30^\circ\), поэтому \(\mathrm{ctg}\,28^\circ > \mathrm{ctg}\,30^\circ = \sqrt{3}\). Функция \(y = \mathrm{tg}\,x\) возрастает на промежутке \((-90^\circ;\ 90^\circ)\), а \(59^\circ < 60^\circ\), поэтому \(\mathrm{tg}\,59^\circ < \mathrm{tg}\,60^\circ = \sqrt{3}\). Значит, \(\mathrm{tg}\,59^\circ < \sqrt{3} < \mathrm{ctg}\,28^\circ\).

3) Функция \(y = \mathrm{tg}\,x\) возрастает на промежутке \((-90^\circ;\ 90^\circ)\), а \(46^\circ > 45^\circ\), поэтому \(\mathrm{tg}\,46^\circ > \mathrm{tg}\,45^\circ = 1\). Функция \(y = \sin x\) убывает на промежутке \([90^\circ;\ 270^\circ]\), а \(91^\circ > 90^\circ\), поэтому \(\sin 91^\circ < \sin 90^\circ = 1\). Значит, \(\sin 91^\circ < 1 < \mathrm{tg}\,46^\circ\).

Ответ: 1) \(\mathrm{tg}\,43^\circ < \mathrm{ctg}\,43^\circ\); 2) \(\mathrm{ctg}\,28^\circ > \mathrm{tg}\,59^\circ\); 3) \(\mathrm{tg}\,46^\circ > \sin 91^\circ\).

1) График получается из котангенсоиды тремя преобразованиями: параллельный перенос вдоль оси абсцисс вправо на \(\frac{\pi}{6}\) единиц даёт график функции \(y = \mathrm{ctg}\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\); растяжение от оси абсцисс в \(4\) раза даёт график функции \(y = 4\,\mathrm{ctg}\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\); симметрия относительно оси абсцисс даёт график данной функции.

Функция не определена при \(x - \frac{\pi}{6} = \pi n\), то есть при \(x = \frac{\pi}{6} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); к прямым \(x = \frac{\pi}{6} + \pi n\) график приближается. Котангенс обращается в нуль при \(x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi n\), поэтому нули данной функции — числа вида \(x = \frac{2\pi}{3} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Главный период равен \(\pi\). Котангенс убывает на каждом из промежутков вида \((\pi n;\ \pi + \pi n)\), а симметрия относительно оси абсцисс меняет убывание на возрастание, поэтому каждая ветвь графика возрастает.

2) Функция \(y = \mathrm{ctg}\,3|x|\) определена при \(3|x| \ne \pi n\), то есть при \(x \ne \frac{\pi n}{3}\), \(n \in \mathbf{Z}\); в частности, точка \(x = 0\) области определения не принадлежит. Область определения симметрична относительно начала координат, и \(y(-x) = \mathrm{ctg}\,3|-x| = \mathrm{ctg}\,3|x| = y(x)\), поэтому функция чётная. Значит, достаточно построить график при \(x > 0\), где \(y = \mathrm{ctg}\,3x\), и отразить построенную часть симметрично относительно оси ординат.

При \(x > 0\) котангенс обращается в нуль, когда \(3x = \frac{\pi}{2} + \pi n\), то есть при \(x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}\), где \(n\) — целое неотрицательное число; в силу чётности нулями функции являются и противоположные им числа. К прямым \(x = \frac{\pi n}{3}\) (в том числе к оси ординат) график приближается.

Периодической данная функция не является: справа от оси ординат её ветви убывают, а слева — возрастают, поэтому параллельным переносом вдоль оси абсцисс график в себя не переходит, и продолжать его переносами нельзя.

3) Функция \(y = \mathrm{tg}\,x - |\mathrm{tg}\,x|\) определена при \(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Раскроем модуль по знаку тангенса.

Если \(\mathrm{tg}\,x \geqslant 0\), то \(|\mathrm{tg}\,x| = \mathrm{tg}\,x\) и \(y = \mathrm{tg}\,x - \mathrm{tg}\,x = 0\). Тангенс положителен на каждом из промежутков вида \(\left(\pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right)\) и равен нулю при \(x = \pi n\), поэтому это случай \(x \in \left[\pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Если \(\mathrm{tg}\,x < 0\), то \(|\mathrm{tg}\,x| = -\mathrm{tg}\,x\) и \(y = \mathrm{tg}\,x + \mathrm{tg}\,x = 2\,\mathrm{tg}\,x\). Тангенс отрицателен на каждом из промежутков вида \(\left(-\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \pi n\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Значит, график состоит из отрезков оси абсцисс, отвечающих промежуткам \(\left[\pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right)\) (левый конец такого отрезка — точка \((\pi n;\ 0)\) — графику принадлежит и изображён залитой точкой, а правый конец выколот: при \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\) функция не определена), и из ветвей графика функции \(y = 2\,\mathrm{tg}\,x\) на промежутках \(\left(-\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \pi n\right)\), каждая из которых поднимается к нулю. Все значения функции неположительны.