Самостоятельная работа 11 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

\[4\left(-\sqrt[8]{17}\right)^8 - 2{,}3\sqrt[5]{100\,000} + \left(\frac{1}{2}\sqrt[5]{96}\right)^5 = 4 \cdot 17 - 2{,}3 \cdot 10 + 3 = 68 - 23 + 3 = 48.\]

Показатель степени \(8\) — чётное число, поэтому знак «минус» при возведении в эту степень исчезает: \(\left(-\sqrt[8]{17}\right)^8 = \left(\sqrt[8]{17}\right)^8 = 17\).

Корень пятой степени \(\sqrt[5]{100\,000} = 10\), так как \(10^5 = 100\,000\).

В пятую степень возводится и числовой коэффициент: \(\left(\frac{1}{2}\sqrt[5]{96}\right)^5 = \left(\frac{1}{2}\right)^5 \cdot \left(\sqrt[5]{96}\right)^5 = \frac{1}{32} \cdot 96 = 3\).

Ответ: \(48\).

1) Показатель корня \(11\) — нечётное число, поэтому корень одиннадцатой степени существует при любом значении подкоренного выражения и при любом \(a\) выполняется равенство \(\left(\sqrt[11]{a}\right)^{11} = a\). Значит, \(D(y) = \mathbf{R}\) и \(y = x + 2\).

График — вся прямая \(y = x + 2\), проходящая через точки \((0;\ 2)\) и \((-2;\ 0)\); выколотых точек и концов у неё нет.

2) Показатель корня \(12\) — чётное число, поэтому корень двенадцатой степени определён только при неотрицательном подкоренном выражении: \(3 - x \geqslant 0\), то есть \(x \leqslant 3\). На этом промежутке \(\left(\sqrt[12]{3 - x}\right)^{12} = 3 - x\). Значит, \(D(y) = (-\infty;\ 3]\) и \(y = 3 - x\).

График — луч прямой \(y = 3 - x\), идущий влево и вверх от точки \((3;\ 0)\); сама точка \((3;\ 0)\) графику принадлежит.

1) Запишем правую часть неравенства в виде корня четвёртой степени: \(4 = \sqrt[4]{256}\), так как \(4 \geqslant 0\) и \(4^4 = 256\). Данное неравенство принимает вид \(\sqrt[4]{4x + 8} \leqslant \sqrt[4]{256}\).

Функция \(y = \sqrt[4]{t}\) является возрастающей с областью определения \([0;\ +\infty)\), поэтому это неравенство равносильно системе \[\begin{cases} 4x + 8 \leqslant 256, \\ 4x + 8 \geqslant 0. \end{cases}\]

Тогда \(\begin{cases} x \leqslant 62, \\ x \geqslant -2. \end{cases}\) Отсюда \(-2 \leqslant x \leqslant 62\).

Проверка: при \(x = -2\) левая часть равна \(\sqrt[4]{0} = 0\), при \(x = 62\) она равна \(\sqrt[4]{256} = 4\) — оба конца промежутка неравенству удовлетворяют.

2) Функция \(y = \sqrt[14]{t}\) является возрастающей с областью определения \([0;\ +\infty)\), поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x^2 - 10 > 9x, \\ 9x \geqslant 0. \end{cases}\]

Тогда \(\begin{cases} x^2 - 9x - 10 > 0, \\ x \geqslant 0. \end{cases}\) Корни квадратного трёхчлена \(x^2 - 9x - 10\) — числа \(-1\) и \(10\), а ветви соответствующей параболы направлены вверх, поэтому первое неравенство системы выполняется при \(x < -1\) и при \(x > 10\): \[\begin{cases} \left[\begin{array}{l} x < -1, \\ x > 10, \end{array}\right. \\ x \geqslant 0. \end{cases}\]

Отсюда получаем, что \(x > 10\).

Проверка: при \(x = 10\) обе части равны \(\sqrt[14]{90}\), и строгое неравенство не выполняется — число \(10\) в ответ не входит; при \(x = 11\) получаем \(\sqrt[14]{111} > \sqrt[14]{99}\) — верно.

Ответ: 1) \([-2;\ 62]\); 2) \((10;\ +\infty)\).

1) Показатель корня \(12\) — чётное число, поэтому выражение \(\sqrt[12]{x}\) определено только при \(x \geqslant 0\): областью определения уравнения служит промежуток \([0;\ +\infty)\).

Если \(a = 0\), то уравнение принимает вид \(0 \cdot \sqrt[12]{x} = 0\); это равенство верно при каждом \(x\) из области определения.

Если \(a \ne 0\), то обе части уравнения можно разделить на \(a\): \(\sqrt[12]{x} = 0\). Возведём обе части в двенадцатую степень: \(x = \left(\sqrt[12]{x}\right)^{12} = 0^{12} = 0\). Число \(0\) области определения принадлежит, значит, \(x = 0\) — корень.

2) Если \(a = 0\), то уравнение принимает вид \(0 = 5\); такое равенство неверно ни при каком \(x\), и корней нет.

Если \(a \ne 0\), то \(x^4 = \frac{5}{a}\). Показатель \(4\) — чётное натуральное число.

При \(a < 0\) имеем \(\frac{5}{a} < 0\), а уравнение вида «чётная степень равна отрицательному числу» корней не имеет.

При \(a > 0\) имеем \(\frac{5}{a} > 0\), и уравнение имеет два корня — противоположные числа \(x_1 = \sqrt[4]{\frac{5}{a}}\) и \(x_2 = -\sqrt[4]{\frac{5}{a}}\).

Ответ: 1) при \(a = 0\) — любое число \(x \in [0;\ +\infty)\), при \(a \ne 0\) — \(x = 0\); 2) при \(a \leqslant 0\) корней нет, при \(a > 0\) — \(x = \pm\sqrt[4]{\frac{5}{a}}\).

Показатель корня \(8\) — чётное число, поэтому выражения \(\sqrt[8]{x}\) и \(\sqrt[8]{y}\) определены только при неотрицательных подкоренных выражениях. Значит, областью определения системы служит множество пар, для которых \(x \geqslant 0\) и \(y \geqslant 0\).

Покажем, что первому уравнению удовлетворяют только пары, у которых \(x = y\). Пусть \(x > y\). Из \(0 \leqslant y < x\) по свойствам числовых неравенств получаем \(y^5 < x^5\). Кроме того, корень восьмой степени — возрастающая функция, поэтому из \(y < x\) следует \(\sqrt[8]{y} < \sqrt[8]{x}\). Складывая почленно два полученных неравенства, получаем \(y^5 + \sqrt[8]{y} < x^5 + \sqrt[8]{x}\), что противоречит первому уравнению. Точно так же к противоречию приводит предположение \(x < y\). Следовательно, \(x = y\).

Подставим \(y = x\) во второе уравнение: \(5x^2 - 2x^2 = 48\); \(3x^2 = 48\); \(x^2 = 16\). Отсюда \(x = 4\) или \(x = -4\). Условию \(x \geqslant 0\) удовлетворяет только \(x = 4\), и тогда \(y = 4\).

Проверка: \(4^5 + \sqrt[8]{4} = 1024 + \sqrt[8]{4}\) — обе части первого уравнения равны этому числу; \(5 \cdot 4^2 - 2 \cdot 4^2 = 80 - 32 = 48\) — второе уравнение тоже верно.

Ответ: \((4;\ 4)\).