Самостоятельная работа 20 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка
Тангенс, котангенс и синус нечётны: \(\mathrm{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}\), \(\mathrm{ctg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{3}\), \(\sin(-\pi) = 0\), \(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
\(5\sin^2\left(-\frac{\pi}{3}\right) = 5\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 5 \cdot \frac{3}{4} = 3{,}75\).
\[\begin{aligned} &2\,\mathrm{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right)\mathrm{ctg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \sin(-\pi) + 5\sin^2\left(-\frac{\pi}{3}\right) = {} \\ &= 2 \cdot \left(-\sqrt{3}\right) \cdot \left(-\sqrt{3}\right) + 0 + 5 \cdot \frac{3}{4} = 6 + 3{,}75 = 9{,}75. \end{aligned}\]
Ответ: \(9{,}75\).
1) \(70^\circ\) — угол I четверти, поэтому \(\cos 70^\circ > 0\); \(270^\circ < 340^\circ < 360^\circ\), поэтому \(340^\circ\) — угол IV четверти и \(\sin 340^\circ < 0\). Значит, \(\cos 70^\circ > \sin 340^\circ\).
2) \(100^\circ\) — угол II четверти, поэтому \(\mathrm{tg}\,100^\circ < 0\). Поворот на угол \(-100^\circ\) приводит в ту же точку единичной окружности, что и поворот на угол \(-100^\circ + 360^\circ = 260^\circ\), а \(180^\circ < 260^\circ < 270^\circ\), поэтому \(-100^\circ\) — угол III четверти и \(\mathrm{ctg}(-100^\circ) > 0\). Значит, \(\mathrm{tg}\,100^\circ < \mathrm{ctg}(-100^\circ)\).
3) \(\frac{5\pi}{4} = \frac{5 \cdot 180^\circ}{4} = 225^\circ\) — угол III четверти, поэтому \(\mathrm{ctg}\,\frac{5\pi}{4} > 0\); \(\frac{5\pi}{6} = \frac{5 \cdot 180^\circ}{6} = 150^\circ\) — угол II четверти, поэтому \(\cos\frac{5\pi}{6} < 0\). Значит, \(\mathrm{ctg}\,\frac{5\pi}{4} > \cos\frac{5\pi}{6}\).
4) Углы заданы в радианах. Так как \(\frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71\) и \(2\pi \approx 6{,}28\), то \(\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi\): число \(6\) — угол IV четверти и \(\cos 6 > 0\). Так как \(\pi \approx 3{,}14\), то \(\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}\): число \(4\) — угол III четверти и \(\sin 4 < 0\). Значит, \(\cos 6 > \sin 4\).
Ответ: 1) \(\cos 70^\circ > \sin 340^\circ\); 2) \(\mathrm{tg}\,100^\circ < \mathrm{ctg}(-100^\circ)\); 3) \(\mathrm{ctg}\,\frac{5\pi}{4} > \cos\frac{5\pi}{6}\); 4) \(\cos 6 > \sin 4\).
1) Произведение \(\sin\alpha\cos\alpha\) положительно, поэтому множители имеют одинаковые знаки, и из \(\sin\alpha < 0\) следует \(\cos\alpha < 0\). Синус и косинус отрицательны у углов III четверти, значит, \(\alpha\) — угол III четверти.
2) Равенство \(|\sin\alpha| = -\sin\alpha\) означает, что \(\sin\alpha \leqslant 0\). Случай \(\sin\alpha = 0\) невозможен: тогда произведение \(\sin\alpha\cos\alpha\) было бы равно нулю, а по условию оно отрицательно. Значит, \(\sin\alpha < 0\).
Произведение отрицательно, поэтому множители имеют разные знаки и \(\cos\alpha > 0\). Синус отрицателен, а косинус положителен у углов IV четверти, значит, \(\alpha\) — угол IV четверти.
Ответ: 1) угол III четверти; 2) угол IV четверти.
1) Котангенс определён при \(x \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), а знаменатель в нуль не обращается: \(\cos x \leqslant 1\), поэтому \(5 - \cos x \geqslant 4 > 0\). Область определения — все действительные числа, кроме чисел вида \(\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), — симметрична относительно начала координат.
\[f(-x) = \frac{(-x)\,\mathrm{ctg}(-x)}{5 - \cos(-x)} = \frac{(-x)(-\mathrm{ctg}\,x)}{5 - \cos x} = \frac{x\,\mathrm{ctg}\,x}{5 - \cos x} = f(x).\]
Функция чётная.
2) Тангенс определён при \(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), а знаменатель обращается в нуль при \(|x| = 4\), то есть при \(x = 4\) и при \(x = -4\). Область определения — все действительные числа, кроме чисел вида \(\frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), и чисел \(4\) и \(-4\), — симметрична относительно начала координат.
\[f(-x) = \frac{\mathrm{tg}(-x)}{4 - |-x|} = \frac{-\mathrm{tg}\,x}{4 - |x|} = -f(x).\]
Функция нечётная.
3) Сокращать дробь на \(x - 1\) нельзя: сокращение изменило бы область определения. Дробь определена при \(x - 1 \ne 0\), то есть область определения — все действительные числа, кроме числа \(1\).
Число \(-1\) этой области принадлежит, а противоположное ему число \(1\) — не принадлежит, поэтому область определения не симметрична относительно начала координат и функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: 1) функция \(f(x) = \frac{x\,\mathrm{ctg}\,x}{5 - \cos x}\) — чётная; 2) функция \(f(x) = \frac{\mathrm{tg}\,x}{4 - |x|}\) — нечётная; 3) функция \(f(x) = \frac{(x - 1)\cos x}{x - 1}\) не является ни чётной, ни нечётной.
Тангенс, котангенс и синус — нечётные функции, поэтому \(\mathrm{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\mathrm{tg}\,\frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}\), \(\mathrm{ctg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\mathrm{ctg}\,\frac{\pi}{6} = -\sqrt{3}\), \(\sin(-\pi) = -\sin\pi = 0\), \(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Первое слагаемое — произведение двух отрицательных чисел, взятое с множителем \(2\): оно положительно. Третье слагаемое содержит квадрат отличного от нуля числа, поэтому тоже положительно: \(5\sin^2\left(-\frac{\pi}{3}\right) = 5\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 5 \cdot \frac{3}{4} = 3{,}75\).
\[\begin{aligned} &2\,\mathrm{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right)\mathrm{ctg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \sin(-\pi) + 5\sin^2\left(-\frac{\pi}{3}\right) = {} \\ &= 2 \cdot \left(-\sqrt{3}\right) \cdot \left(-\sqrt{3}\right) + 0 + 5 \cdot \frac{3}{4} = 6 + 3{,}75 = 9{,}75. \end{aligned}\]
Ответ: \(9{,}75\).
1) Угол \(70^\circ\) — угол I четверти, поэтому \(\cos 70^\circ > 0\). Так как \(270^\circ < 340^\circ < 360^\circ\), угол \(340^\circ\) — угол IV четверти, поэтому \(\sin 340^\circ < 0\). Следовательно, \(\cos 70^\circ > \sin 340^\circ\).
2) Угол \(100^\circ\) — угол II четверти, поэтому \(\mathrm{tg}\,100^\circ < 0\). Поворот на угол \(-100^\circ\) приводит в ту же точку единичной окружности, что и поворот на угол \(-100^\circ + 360^\circ = 260^\circ\), а \(180^\circ < 260^\circ < 270^\circ\), поэтому \(-100^\circ\) — угол III четверти и \(\mathrm{ctg}(-100^\circ) > 0\). Следовательно, \(\mathrm{tg}\,100^\circ < \mathrm{ctg}(-100^\circ)\).
3) \(\frac{5\pi}{4} = \frac{5 \cdot 180^\circ}{4} = 225^\circ\) — угол III четверти, поэтому \(\mathrm{ctg}\,\frac{5\pi}{4} > 0\). \(\frac{5\pi}{6} = \frac{5 \cdot 180^\circ}{6} = 150^\circ\) — угол II четверти, поэтому \(\cos\frac{5\pi}{6} < 0\). Следовательно, \(\mathrm{ctg}\,\frac{5\pi}{4} > \cos\frac{5\pi}{6}\).
4) Здесь углы заданы в радианах. Так как \(\frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71\) и \(2\pi \approx 6{,}28\), то \(\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi\): число \(6\) — угол IV четверти, поэтому \(\cos 6 > 0\). Так как \(\pi \approx 3{,}14\), то \(\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}\): число \(4\) — угол III четверти, поэтому \(\sin 4 < 0\). Следовательно, \(\cos 6 > \sin 4\).
Ответ: 1) \(\cos 70^\circ > \sin 340^\circ\); 2) \(\mathrm{tg}\,100^\circ < \mathrm{ctg}(-100^\circ)\); 3) \(\mathrm{ctg}\,\frac{5\pi}{4} > \cos\frac{5\pi}{6}\); 4) \(\cos 6 > \sin 4\).
1) По условию \(\sin\alpha < 0\), а произведение \(\sin\alpha\cos\alpha\) положительно, поэтому множители имеют одинаковые знаки и \(\cos\alpha < 0\). Синус и косинус отрицательны у углов III четверти, значит, \(\alpha\) — угол III четверти.
2) Равенство \(|\sin\alpha| = -\sin\alpha\) означает, что \(\sin\alpha \leqslant 0\). Случай \(\sin\alpha = 0\) невозможен: тогда произведение \(\sin\alpha\cos\alpha\) было бы равно нулю, а по условию оно отрицательно. Значит, \(\sin\alpha < 0\).
Произведение \(\sin\alpha\cos\alpha\) отрицательно, поэтому множители имеют разные знаки и \(\cos\alpha > 0\). Синус отрицателен, а косинус положителен у углов IV четверти, значит, \(\alpha\) — угол IV четверти.
Ответ: 1) угол III четверти; 2) угол IV четверти.
1) Котангенс определён при \(x \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). Знаменатель в нуль не обращается: \(\cos x \leqslant 1\), поэтому \(5 - \cos x \geqslant 4 > 0\). Значит, область определения данной функции — все действительные числа, кроме чисел вида \(\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), — симметрична относительно начала координат.
Имеем:
\[f(-x) = \frac{(-x)\,\mathrm{ctg}(-x)}{5 - \cos(-x)} = \frac{(-x)(-\mathrm{ctg}\,x)}{5 - \cos x} = \frac{x\,\mathrm{ctg}\,x}{5 - \cos x} = f(x).\]
Следовательно, данная функция — чётная.
2) Тангенс определён при \(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); знаменатель обращается в нуль при \(|x| = 4\), то есть при \(x = 4\) и при \(x = -4\). Значит, область определения данной функции — все действительные числа, кроме чисел вида \(\frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), и чисел \(4\) и \(-4\), — симметрична относительно начала координат.
Имеем:
\[f(-x) = \frac{\mathrm{tg}(-x)}{4 - |-x|} = \frac{-\mathrm{tg}\,x}{4 - |x|} = -f(x).\]
Следовательно, данная функция — нечётная.
3) Сокращать дробь на \(x - 1\) нельзя: сокращение изменило бы область определения функции. Дробь определена при \(x - 1 \ne 0\), то есть область определения данной функции — все действительные числа, кроме числа \(1\).
Число \(-1\) этой области принадлежит, а противоположное ему число \(1\) — не принадлежит, поэтому область определения не симметрична относительно начала координат. Следовательно, данная функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: 1) функция \(f(x) = \frac{x\,\mathrm{ctg}\,x}{5 - \cos x}\) — чётная; 2) функция \(f(x) = \frac{\mathrm{tg}\,x}{4 - |x|}\) — нечётная; 3) функция \(f(x) = \frac{(x - 1)\cos x}{x - 1}\) не является ни чётной, ни нечётной.
