Самостоятельная работа 22 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Длина данного промежутка равна \(\frac{7\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = 2\pi\), то есть равна главному периоду функции \(y = \cos x\); оба конца промежутку принадлежат. Чтобы сравнивать числа с концами промежутка, запишем их в четвертях числа \(\pi\).

1) Нули функции \(y = \cos x\) — числа вида \(\frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Данному промежутку принадлежат числа \(\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{4}\) и \(\frac{3\pi}{2} = \frac{6\pi}{4}\), а числа \(-\frac{\pi}{2} = -\frac{2\pi}{4}\) и \(\frac{5\pi}{2} = \frac{10\pi}{4}\) ему не принадлежат: первое меньше левого конца, второе больше правого.

2) Наибольшее значение, равное \(1\), функция \(y = \cos x\) принимает в точках вида \(2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Данному промежутку принадлежит только точка \(0\): точка \(2\pi = \frac{8\pi}{4}\) больше правого конца, а точка \(-2\pi\) меньше левого.

Наименьшее значение, равное \(-1\), функция \(y = \cos x\) принимает в точках вида \(\pi + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Данному промежутку принадлежит только точка \(\pi = \frac{4\pi}{4}\): точка \(-\pi = -\frac{4\pi}{4}\) меньше левого конца.

Ответ: 1) нули функции \(y = \cos x\) на данном промежутке — числа \(\frac{\pi}{2}\) и \(\frac{3\pi}{2}\); 2) наибольшее значение функция принимает при \(x = 0\), наименьшее — при \(x = \pi\).

1) Сравним сами числа: \(\frac{13\pi}{12}\) и \(\frac{12\pi}{11}\) — это дроби \(\frac{13}{12}\) и \(\frac{12}{11}\) числа \(\pi\), а \(13 \cdot 11 = 143\) и \(12 \cdot 12 = 144\), поэтому \(\frac{13}{12} < \frac{12}{11}\) и \(\frac{13\pi}{12} < \frac{12\pi}{11}\).

Оба числа принадлежат промежутку \(\left[\frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{2}\right]\): они больше \(\pi\) и меньше \(\frac{3\pi}{2}\) (ведь \(\frac{12}{11} < \frac{3}{2}\)). На этом промежутке функция \(y = \sin x\) убывает, поэтому из неравенства \(\frac{13\pi}{12} < \frac{12\pi}{11}\) следует, что \(\sin\frac{13\pi}{12} > \sin\frac{12\pi}{11}\).

Значит, \(\sin\frac{12\pi}{11} < \sin\frac{13\pi}{12}\).

2) Функция \(y = \cos x\) чётная, поэтому \(\cos(-7) = \cos 7\) и \(\cos(-8) = \cos 8\).

Числа \(7\) и \(8\) больше, чем \(2\pi \approx 6{,}28\), поэтому воспользуемся периодичностью косинуса:

\[\cos 7 = \cos(7 - 2\pi), \quad \cos 8 = \cos(8 - 2\pi).\]

Числа \(7 - 2\pi \approx 0{,}72\) и \(8 - 2\pi \approx 1{,}72\) принадлежат промежутку \([0;\ \pi]\), на котором функция \(y = \cos x\) убывает. Поскольку \(7 - 2\pi < 8 - 2\pi\), то \(\cos(7 - 2\pi) > \cos(8 - 2\pi)\), то есть \(\cos 7 > \cos 8\).

Значит, \(\cos(-7) > \cos(-8)\).

Ответ: 1) \(\sin\frac{12\pi}{11} < \sin\frac{13\pi}{12}\); 2) \(\cos(-7) > \cos(-8)\).

1) Функция \(y = \cos x\) убывает на промежутке \([0^\circ;\ 180^\circ]\), а \(43^\circ < 45^\circ\), поэтому \(\cos 43^\circ > \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Отсюда

\[\sqrt{2}\cos 43^\circ > \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1.\]

Наибольшее значение функции \(y = \cos x\) равно \(1\), поэтому данное равенство невозможно.

2) Так как \(31^\circ > 30^\circ\), а функция \(y = \cos x\) убывает на промежутке \([0^\circ;\ 180^\circ]\), то \(\cos 31^\circ < \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Отсюда

\[\frac{2}{\sqrt{3}}\cos 31^\circ < \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1.\]

Кроме того, \(31^\circ\) — угол первой четверти, поэтому \(\cos 31^\circ > 0\) и \(\frac{2}{\sqrt{3}}\cos 31^\circ > 0\). Значит, число \(\frac{2}{\sqrt{3}}\cos 31^\circ\) принадлежит промежутку \((0;\ 1)\). Функция \(y = \sin x\) принимает все значения из промежутка \([-1;\ 1]\), поэтому данное равенство возможно.

Ответ: 1) равенство невозможно; 2) равенство возможно.

1) Вынесем множитель при переменной в аргументе косинуса:

\[\cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) - 3 = \cos\left(2\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right) - 3.\]

График строим из косинусоиды тремя преобразованиями: сжатие к оси ординат в \(2\) раза даёт график функции \(y = \cos 2x\); параллельный перенос вдоль оси абсцисс влево на \(\frac{\pi}{3}\) единиц даёт график функции \(y = \cos\left(2\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right)\); параллельный перенос вдоль оси ординат вниз на \(3\) единицы даёт искомый график.

Главный период полученной функции равен \(\frac{2\pi}{2} = \pi\), область значений — промежуток \([-4;\ -2]\). Наибольшее значение, равное \(-2\), функция принимает в точках вида \(-\frac{\pi}{3} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\), наименьшее, равное \(-4\), — в точках вида \(\frac{\pi}{6} + \pi n\). Нулей у функции нет: все её значения отрицательны, и ось абсцисс график не пересекает.

2) Выражение \(\sqrt{\sin x}\) имеет смысл при \(\sin x \geqslant 0\), поэтому областью определения функции является объединение промежутков вида

\[[2\pi n;\ \pi + 2\pi n],\ n \in \mathbf{Z}.\]

На каждом из этих промежутков \(\left(\sqrt{\sin x}\right)^2 = \sin x\), поэтому

\[y = \sin x + \sin x = 2\sin x.\]

График получается из синусоиды растяжением от оси абсцисс в \(2\) раза, но состоит только из отдельных дуг — над указанными промежутками. Концы дуг — точки \((2\pi n;\ 0)\) и \((\pi + 2\pi n;\ 0)\) — графику принадлежат (в них функция определена и равна нулю), поэтому они изображаются залитыми точками; наибольшее значение, равное \(2\), функция принимает в точках вида \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\). Между этими промежутками графика нет: там функция не определена.