Самостоятельная работа 15 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Обе части уравнения — корни шестнадцатой, то есть чётной, степени. Уравнение вида «корень чётной степени равен корню той же степени» равносильно системе: подкоренные выражения равны и одно из них неотрицательно (условие ставим на то из них, неравенство с которым решается легче): \[\begin{cases} x^2 + 5x - 1 = x + 4, \\ x + 4 \geqslant 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x^2 + 4x - 5 = 0, \\ x \geqslant -4; \end{cases} \quad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = 1, \\ x = -5, \end{array}\right. \\ x \geqslant -4; \end{cases} \quad x = 1.\]

Число \(-5\) условию \(x \geqslant -4\) не удовлетворяет, поэтому корнем данного уравнения оно не является.

2) Уравнение вида «квадратный корень равен выражению» равносильно системе: подкоренное выражение равно квадрату правой части, а правая часть неотрицательна: \[\begin{cases} 5x + 1 = (1 - x)^2, \\ 1 - x \geqslant 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x^2 - 7x = 0, \\ x \leqslant 1; \end{cases} \quad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = 0, \\ x = 7, \end{array}\right. \\ x \leqslant 1; \end{cases} \quad x = 0.\]

Число \(7\) условию \(x \leqslant 1\) не удовлетворяет — это посторонний корень, в ответ он не входит.

3) Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель; сокращать обе части на \(x + 1\) нельзя: этот множитель обращается в нуль при \(x = -1\), и при сокращении корень может быть потерян: \[(x + 1)\sqrt{x^2 + x - 2} - 2(x + 1) = 0; \quad (x + 1)\left(\sqrt{x^2 + x - 2} - 2\right) = 0.\]

Область определения уравнения задаётся условием \(x^2 + x - 2 \geqslant 0\). Корни трёхчлена равны \(-2\) и \(1\), ветви параболы направлены вверх, поэтому область определения — множество \(x \leqslant -2\) или \(x \geqslant 1\).

На этом множестве уравнение равносильно совокупности \(\left[\begin{array}{l} x + 1 = 0, \\ \sqrt{x^2 + x - 2} = 2. \end{array}\right.\)

Число \(-1\) области определения не принадлежит (при \(x = -1\) подкоренное выражение равно \(-2\)), поэтому корнем данного уравнения оно не является.

Правая часть второго уравнения совокупности положительна, поэтому оно равносильно уравнению \(x^2 + x - 2 = 4\); \(x^2 + x - 6 = 0\); \(x = -3\) или \(x = 2\). Оба числа принадлежат области определения (\(-3 \leqslant -2\) и \(2 \geqslant 1\)), значит, оба — корни.

4) Область определения уравнения задаётся системой \(\begin{cases} x + 5 \geqslant 0, \\ x - 3 \geqslant 0; \end{cases}\) то есть это множество \(M = [3;\ +\infty)\).

Уединим радикал: \(\sqrt{x + 5} = 2 + \sqrt{x - 3}\). На множестве \(M\) обе части последнего уравнения принимают неотрицательные значения, поэтому возведение в квадрат даёт уравнение, равносильное ему на \(M\): \[x + 5 = 4 + 4\sqrt{x - 3} + x - 3; \quad 4\sqrt{x - 3} = 4; \quad \sqrt{x - 3} = 1.\]

Отсюда \(x - 3 = 1\); \(x = 4\). Число \(4\) принадлежит множеству \(M\).

5) Область определения уравнения задаётся условием \(x + 5 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant -5\); при этом условии оба выражения под внешними радикалами неотрицательны, так как окажутся полными квадратами.

Свернём подкоренные выражения в квадраты: \[x + 6 + 2\sqrt{x + 5} = (x + 5) + 2\sqrt{x + 5} + 1 = \left(\sqrt{x + 5} + 1\right)^{2},\] \[x + 6 - 2\sqrt{x + 5} = (x + 5) - 2\sqrt{x + 5} + 1 = \left(\sqrt{x + 5} - 1\right)^{2}.\]

Квадратный корень из квадрата равен модулю основания, поэтому уравнение принимает вид \(\left|\sqrt{x + 5} + 1\right| + \left|\sqrt{x + 5} - 1\right| = 6\). Первый модуль раскрывается сразу: \(\sqrt{x + 5} + 1 > 0\). Для второго рассмотрим два случая.

Если \(-5 \leqslant x \leqslant -4\), то \(0 \leqslant \sqrt{x + 5} \leqslant 1\) и второй модуль равен \(1 - \sqrt{x + 5}\). Тогда левая часть равна \(\sqrt{x + 5} + 1 + 1 - \sqrt{x + 5} = 2\), а равенство \(2 = 6\) неверно: на этом промежутке корней нет.

Если \(x > -4\), то \(\sqrt{x + 5} > 1\) и второй модуль равен \(\sqrt{x + 5} - 1\). Тогда левая часть равна \(2\sqrt{x + 5}\), и уравнение принимает вид \(2\sqrt{x + 5} = 6\); \(\sqrt{x + 5} = 3\); \(x + 5 = 9\); \(x = 4\). Число \(4\) больше \(-4\), значит, оно принадлежит рассматриваемому промежутку и является корнем.

Ответ: 1) \(1\); 2) \(0\); 3) \(-3\); \(2\); 4) \(4\); 5) \(4\).