Самостоятельная работа 21 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Число \(360^\circ\) является периодом функции \(y = \sin x\), поэтому

\[\sin 405^\circ = \sin(45^\circ + 360^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

2) Главный период функции \(y = \cos x\) равен \(2\pi\), поэтому её периодом является и число \(6\pi\). Так как \(\frac{19\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 6\pi\), то

\[\cos\frac{19\pi}{3} = \cos\left(\frac{\pi}{3} + 6\pi\right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}.\]

3) Главный период функции \(y = \mathrm{ctg}\,x\) равен \(\pi\), поэтому её периодом является и число \(10\pi\). Так как \(-\frac{37\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} - 10\pi\), то

\[\mathrm{ctg}\left(-\frac{37\pi}{4}\right) = \mathrm{ctg}\left(\frac{3\pi}{4} - 10\pi\right) = \mathrm{ctg}\frac{3\pi}{4} = \mathrm{ctg}\,135^\circ = -1.\]

Ответ: 1) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\); 2) \(\frac{1}{2}\); 3) \(-1\).

2. На рисунке 24 изображена часть графика периодической функции, период которой равен \(T\). Постройте график этой функции на промежутке \([-2T;\ 2T]\).

График периодической функции на всей области определения получается из его части, показанной на промежутке длиной в период, параллельными переносами на векторы с координатами \((nT;\ 0)\), \(n \in \mathbf{Z}\).

а) На рисунке показана часть графика на промежутке \((0;\ T]\): левый конец выколот, то есть значение \(-2\) функция при \(x = 0\) не принимает, а правый конец промежутка графику принадлежит, причём \(f(T) = 0\). По периодичности \(f(0) = f(T) = 0\).

Промежуток \([-2T;\ 2T]\) разбивается на четыре промежутка длиной в период: \((-2T;\ -T]\), \((-T;\ 0]\), \((0;\ T]\), \((T;\ 2T]\). На каждом из них график — копия показанной части, полученная параллельным переносом на вектор \((nT;\ 0)\).

В каждом из узлов \(x = -2T\), \(-T\), \(0\), \(T\), \(2T\) значение функции равно нулю (залитая точка на оси абсцисс); сразу справа от узла функция равна \(-2\), но в самом узле значение \(-2\) не принимается (пустой кружок). Вертикальными отрезками концы соседних копий не соединяются: в узлах у функции разрыв.

б) Здесь показана часть графика на отрезке \(\left[-\frac{T}{2};\ \frac{T}{2}\right]\) — это тоже промежуток длиной в период: ломаная из двух отрезков с вершиной в начале координат и концами на одной глубине \(h\) под осью абсцисс. Значения на концах равны, поэтому соседние копии стыкуются без скачка и продолжение оказывается непрерывной ломаной; выколотых точек у неё нет.

Отрезок \([-2T;\ 2T]\) содержит четыре периода. Изломы вверх, в которых значение функции равно нулю, приходятся на точки \(x = nT\), изломы вниз со значением \(-h\) — на точки \(x = \frac{T}{2} + nT\), \(n \in \mathbf{Z}\); концы отрезка \([-2T;\ 2T]\) попадают в изломы вверх.

1) \(f(x) = \cos 4x\), \(T = \frac{\pi}{2}\).

Область определения функции \(f\) — множество всех действительных чисел, поэтому вместе с каждым числом \(x\) ей принадлежат и числа \(x - \frac{\pi}{2}\), \(x + \frac{\pi}{2}\).

Число \(2\pi\) — период функции \(y = \cos x\), поэтому для любого \(x\)

\[f\left(x \pm \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(4\left(x \pm \frac{\pi}{2}\right)\right) = \cos(4x \pm 2\pi) = \cos 4x = f(x).\]

Значит, \(f\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = f(x) = f\left(x + \frac{\pi}{2}\right)\), и по определению число \(\frac{\pi}{2}\) является периодом функции \(f\).

2) \(f(x) = \mathrm{ctg}\frac{\pi x}{3}\), \(T = 9\).

Котангенс определён при \(\frac{\pi x}{3} \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), поэтому

\[D(f) = \{x \in \mathbf{R} \mid x \ne 3k,\ k \in \mathbf{Z}\}.\]

Если число \(x\) не имеет вида \(3k\), то и числа \(x - 9\), \(x + 9\) такого вида не имеют, ведь \(3k \pm 9 = 3(k \pm 3)\). Значит, если \(x \in D(f)\), то \((x - 9) \in D(f)\) и \((x + 9) \in D(f)\).

Число \(\pi\) — период функции \(y = \mathrm{ctg}\,x\), поэтому её периодом является и число \(3\pi\). Тогда для любого \(x \in D(f)\)

\[f(x \pm 9) = \mathrm{ctg}\frac{\pi(x \pm 9)}{3} = \mathrm{ctg}\left(\frac{\pi x}{3} \pm 3\pi\right) = \mathrm{ctg}\frac{\pi x}{3} = f(x).\]

Значит, \(f(x - 9) = f(x) = f(x + 9)\), и число \(9\) является периодом функции \(f\).

Ответ: число \(\frac{\pi}{2}\) — период функции \(f(x) = \cos 4x\); число \(9\) — период функции \(f(x) = \mathrm{ctg}\frac{\pi x}{3}\).

Рассмотрим функции \(g(x) = \mathrm{ctg}\,5x\) и \(h(x) = \cos\frac{3x}{4}\); данная функция — их разность. Если найти общий период функций \(g\) и \(h\), то тем самым будет найден период данной функции.

Главный период функции \(y = \mathrm{ctg}\,x\) равен \(\pi\), главный период функции \(y = \cos x\) равен \(2\pi\), поэтому

\[T_g = \pi : 5 = \frac{\pi}{5}, \quad T_h = 2\pi : \frac{3}{4} = \frac{8\pi}{3}.\]

Тогда \(\frac{T_g}{T_h} = \frac{\pi}{5} : \frac{8\pi}{3} = \frac{\pi}{5} \cdot \frac{3}{8\pi} = \frac{3}{40}\) — число рациональное, значит, периоды \(T_g\) и \(T_h\) соизмеримы и функции \(g\) и \(h\) имеют общий период \(T\). Он равен \(40T_g\), или \(3T_h\), то есть

\[T = 40 \cdot \frac{\pi}{5} = 8\pi.\]

Ответ: \(8\pi\).

Рассмотрим два случая.

Если \(a = 0\), то \(f(x) = \sin 0 = 0\) при всех \(x\), то есть функция \(f\) постоянна. Любое отличное от нуля число является периодом постоянной функции, поэтому число \(\frac{5\pi}{4}\) — период функции \(f\), и значение \(a = 0\) условию удовлетворяет.

Пусть \(a \ne 0\). Главный период функции \(y = \sin ax\) равен \(\frac{2\pi}{|a|}\), а если у функции есть главный период, то любой её период имеет вид \(n \cdot \frac{2\pi}{|a|}\), где \(n\) — целое число, отличное от нуля. Положительные периоды получаются при натуральных \(n\), поэтому число \(\frac{5\pi}{4}\) является периодом функции \(f\) тогда и только тогда, когда при некотором натуральном \(n\) выполняется равенство \(\frac{5\pi}{4} = \frac{2\pi n}{|a|}\). Отсюда \(|a| = \frac{8\pi n}{5\pi} = \frac{8n}{5}\), то есть \(a = \pm\frac{8n}{5}\), где \(n\) — натуральное число.

Например, при \(a = \frac85\) главный период функции \(f\) равен \(2\pi : \frac85 = \frac{5\pi}{4}\) — это и есть данное число \(T\).

Оба случая вместе дают \(a = \frac{8n}{5}\), где \(n\) — целое число.

Ответ: \(a = \frac{8n}{5}\), \(n \in \mathbf{Z}\).