Самостоятельная работа 11 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

\[2\left(-\sqrt[12]{12}\right)^{12} - 30\sqrt[3]{0{,}001} + \left(\frac{1}{2}\sqrt[5]{96}\right)^5 = 2 \cdot 12 - 30 \cdot 0{,}1 + 3 = 24 - 3 + 3 = 24.\]

Показатель степени \(12\) — чётное число, поэтому знак «минус» при возведении в эту степень исчезает: \(\left(-\sqrt[12]{12}\right)^{12} = \left(\sqrt[12]{12}\right)^{12} = 12\).

Корень третьей степени \(\sqrt[3]{0{,}001} = 0{,}1\), так как \(0{,}1^3 = 0{,}001\).

В пятую степень возводится и числовой коэффициент: \(\left(\frac{1}{2}\sqrt[5]{96}\right)^5 = \left(\frac{1}{2}\right)^5 \cdot \left(\sqrt[5]{96}\right)^5 = \frac{1}{32} \cdot 96 = 3\).

Ответ: \(24\).

1) Показатель корня \(9\) — нечётное число, поэтому корень девятой степени существует при любом значении подкоренного выражения и при любом \(a\) выполняется равенство \(\left(\sqrt[9]{a}\right)^9 = a\). Значит, \(D(y) = \mathbf{R}\) и \(y = 4 - x\).

График — вся прямая \(y = 4 - x\), проходящая через точки \((0;\ 4)\) и \((4;\ 0)\); выколотых точек и концов у неё нет.

2) Показатель корня \(10\) — чётное число, поэтому корень десятой степени определён только при неотрицательном подкоренном выражении: \(x - 2 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 2\). На этом промежутке \(\left(\sqrt[10]{x - 2}\right)^{10} = x - 2\). Значит, \(D(y) = [2;\ +\infty)\) и \(y = x - 2\).

График — луч прямой \(y = x - 2\), идущий вправо и вверх от точки \((2;\ 0)\); сама точка \((2;\ 0)\) графику принадлежит.

1) Запишем правую часть неравенства в виде корня четвёртой степени: \(3 = \sqrt[4]{81}\), так как \(3 \geqslant 0\) и \(3^4 = 81\). Данное неравенство принимает вид \(\sqrt[4]{2x - 3} \leqslant \sqrt[4]{81}\).

Функция \(y = \sqrt[4]{t}\) является возрастающей с областью определения \([0;\ +\infty)\), поэтому это неравенство равносильно системе \[\begin{cases} 2x - 3 \leqslant 81, \\ 2x - 3 \geqslant 0. \end{cases}\]

Тогда \(\begin{cases} x \leqslant 42, \\ x \geqslant 1{,}5. \end{cases}\) Отсюда \(1{,}5 \leqslant x \leqslant 42\).

Проверка: при \(x = 1{,}5\) левая часть равна \(\sqrt[4]{0} = 0\), при \(x = 42\) она равна \(\sqrt[4]{81} = 3\) — оба конца промежутка неравенству удовлетворяют.

2) Функция \(y = \sqrt[8]{t}\) является возрастающей с областью определения \([0;\ +\infty)\), поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x^2 - 7 \geqslant 6x, \\ 6x \geqslant 0. \end{cases}\]

Тогда \(\begin{cases} x^2 - 6x - 7 \geqslant 0, \\ x \geqslant 0. \end{cases}\) Корни квадратного трёхчлена \(x^2 - 6x - 7\) — числа \(-1\) и \(7\), а ветви соответствующей параболы направлены вверх, поэтому первое неравенство системы выполняется при \(x \leqslant -1\) и при \(x \geqslant 7\): \[\begin{cases} \left[\begin{array}{l} x \leqslant -1, \\ x \geqslant 7, \end{array}\right. \\ x \geqslant 0. \end{cases}\]

Отсюда получаем, что \(x \geqslant 7\).

Проверка: при \(x = 7\) обе части равны \(\sqrt[8]{42}\), и нестрогое неравенство выполняется; при \(x = 8\) получаем \(\sqrt[8]{57} \geqslant \sqrt[8]{48}\) — верно; при \(x = -2\) подкоренное выражение \(6x\) отрицательно, и правая часть не определена.

Ответ: 1) \([1{,}5;\ 42]\); 2) \([7;\ +\infty)\).

1) Показатель корня \(8\) — чётное число, поэтому выражение \(\sqrt[8]{x}\) определено только при \(x \geqslant 0\): областью определения уравнения служит промежуток \([0;\ +\infty)\).

Если \(a = -6\), то \(a + 6 = 0\) и уравнение принимает вид \(0 \cdot \sqrt[8]{x} = 0\); это равенство верно при каждом \(x\) из области определения.

Если \(a \ne -6\), то \(a + 6 \ne 0\), и обе части уравнения можно разделить на \(a + 6\): \(\sqrt[8]{x} = 0\). Возведём обе части в восьмую степень: \(x = \left(\sqrt[8]{x}\right)^8 = 0^8 = 0\). Число \(0\) области определения принадлежит, значит, \(x = 0\) — корень.

2) Если \(a = 0\), то уравнение принимает вид \(0 = 8\); такое равенство неверно ни при каком \(x\), и корней нет.

Если \(a \ne 0\), то \(x^{10} = \frac{8}{a}\). Показатель \(10\) — чётное натуральное число.

При \(a < 0\) имеем \(\frac{8}{a} < 0\), а уравнение вида «чётная степень равна отрицательному числу» корней не имеет.

При \(a > 0\) имеем \(\frac{8}{a} > 0\), и уравнение имеет два корня — противоположные числа \(x_1 = \sqrt[10]{\frac{8}{a}}\) и \(x_2 = -\sqrt[10]{\frac{8}{a}}\).

Ответ: 1) при \(a = -6\) — любое число \(x \in [0;\ +\infty)\), при \(a \ne -6\) — \(x = 0\); 2) при \(a \leqslant 0\) корней нет, при \(a > 0\) — \(x = \pm\sqrt[10]{\frac{8}{a}}\).

Показатель корня \(6\) — чётное число, поэтому выражения \(\sqrt[6]{x}\) и \(\sqrt[6]{y}\) определены только при неотрицательных подкоренных выражениях. Значит, областью определения системы служит множество пар, для которых \(x \geqslant 0\) и \(y \geqslant 0\).

Покажем, что первому уравнению удовлетворяют только пары, у которых \(x = y\). Пусть \(x > y\). Из \(0 \leqslant y < x\) по свойствам числовых неравенств получаем \(y^3 < x^3\). Кроме того, корень шестой степени — возрастающая функция, поэтому из \(y < x\) следует \(\sqrt[6]{y} < \sqrt[6]{x}\). Складывая почленно два полученных неравенства, получаем \(y^3 + \sqrt[6]{y} < x^3 + \sqrt[6]{x}\), что противоречит первому уравнению. Точно так же к противоречию приводит предположение \(x < y\). Следовательно, \(x = y\).

Подставим \(y = x\) во второе уравнение: \(4x^2 + 3x^2 = 7\); \(7x^2 = 7\); \(x^2 = 1\). Отсюда \(x = 1\) или \(x = -1\). Условию \(x \geqslant 0\) удовлетворяет только \(x = 1\), и тогда \(y = 1\).

Проверка: \(1^3 + \sqrt[6]{1} = 2\) — обе части первого уравнения равны \(2\); \(4 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1^2 = 7\) — второе уравнение тоже верно.

Ответ: \((1;\ 1)\).