Самостоятельная работа 17 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Неравенство вида «корень больше корня» равносильно системе: подкоренные выражения связаны тем же неравенством, а меньшее из них неотрицательно: \[\begin{cases} 2x - 3 > 9 - x, \\ 9 - x \geqslant 0; \end{cases} \quad \begin{cases} 3x > 12, \\ x \leqslant 9; \end{cases} \quad 4 < x \leqslant 9.\]

Правый конец промежутка входит в множество решений: при \(x = 9\) получаем верное неравенство \(\sqrt{15} > 0\).

2) Неравенство вида «корень меньше выражения» равносильно системе из трёх условий: \[\begin{cases} 3x^2 - 7x + 4 < (x - 2)^2, \\ x - 2 > 0, \\ 3x^2 - 7x + 4 \geqslant 0. \end{cases}\]

Первое условие: \(3x^2 - 7x + 4 < x^2 - 4x + 4\); \(2x^2 - 3x < 0\); \(x(2x - 3) < 0\), откуда \(0 < x < 1{,}5\).

Второе условие: \(x > 2\).

Уже первые два условия несовместны: ни одно число не может быть одновременно меньше \(1{,}5\) и больше \(2\). Значит, система решений не имеет, а вместе с ней не имеет решений и данное неравенство. Если условие \(x - 2 > 0\) пропустить, получится ложный непустой ответ.

3) Неравенство вида «корень больше выражения» равносильно совокупности двух систем: в первой правая часть отрицательна и подкоренное выражение неотрицательно, во второй правая часть неотрицательна и подкоренное выражение больше её квадрата.

Первая система: \[\begin{cases} x - 4 < 0, \\ x + 8 \geqslant 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x < 4, \\ x \geqslant -8; \end{cases} \quad -8 \leqslant x < 4.\]

Вторая система: \[\begin{cases} x - 4 \geqslant 0, \\ x + 8 > (x - 4)^2; \end{cases} \quad \begin{cases} x \geqslant 4, \\ x^2 - 9x + 8 < 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x \geqslant 4, \\ 1 < x < 8; \end{cases} \quad 4 \leqslant x < 8.\]

Множество решений неравенства — объединение решений этих систем: \([-8;\ 4) \cup [4;\ 8) = [-8;\ 8)\).

4) Область определения неравенства задаётся условием \(x + 1 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant -1\). На ней \(\sqrt{x + 1} \geqslant 0\), и делить обе части на радикал нельзя: он может обращаться в нуль. Произведение неположительно в двух случаях.

Первый случай: \(\sqrt{x + 1} = 0\), то есть \(x = -1\). Тогда произведение равно нулю, и неравенство выполняется.

Второй случай: \(\sqrt{x + 1} > 0\), то есть \(x > -1\). Тогда обе части можно разделить на положительное число \(\sqrt{x + 1}\), и неравенство равносильно неравенству \(4 - 3x \leqslant 0\), то есть \(x \geqslant \frac{4}{3}\).

Множество решений — объединение полученных множеств: \(\{-1\} \cup \left[\frac{4}{3};\ +\infty\right)\); изолированная точка \(-1\) входит в ответ.

Ответ: 1) \((4;\ 9]\); 2) решений нет; 3) \([-8;\ 8)\); 4) \(\{-1\} \cup \left[\frac{4}{3};\ +\infty\right)\).

Область определения неравенства задаётся условием \(x + 2 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant -2\): вне этого множества левая часть смысла не имеет. Решения ищем только среди таких значений переменной. Буква \(a\) — параметр, поэтому рассмотрим два случая по его знаку.

Если \(a \leqslant 0\), то при каждом \(x \geqslant -2\) произведение \(a\sqrt{x + 2}\) не больше нуля (при \(a = 0\) оно равно нулю, при отрицательном значении параметра — отрицательно или равно нулю). Значит, неравенство \(a\sqrt{x + 2} < 1\) верно на всей области определения, и решением служит промежуток \([-2;\ +\infty)\).

Если \(a > 0\), то, разделив обе части на положительное число \(a\), получаем равносильное неравенство \(\sqrt{x + 2} < \frac{1}{a}\). Оно равносильно системе \[\begin{cases} x + 2 < \frac{1}{a^2}, \\ \frac{1}{a} > 0, \\ x + 2 \geqslant 0. \end{cases}\]

Второе условие выполняется при каждом положительном значении параметра, поэтому остаются первое и третье: \(-2 \leqslant x < -2 + \frac{1}{a^2}\). Этот промежуток не пуст, так как \(\frac{1}{a^2} > 0\).

Ответ: при \(a \leqslant 0\) — \([-2;\ +\infty)\); при \(a > 0\) — \(\left[-2;\ -2 + \frac{1}{a^2}\right)\).