Самостоятельная работа 19 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Косинус угла поворота — это абсцисса, а синус — ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки \(P_0(1;\ 0)\) на этот угол. Повороту на угол \(0^\circ\) отвечает точка \((1;\ 0)\), на \(90^\circ = \frac{\pi}{2}\) — точка \((0;\ 1)\), на \(180^\circ = \pi\) — точка \((-1;\ 0)\), на \(270^\circ = \frac{3\pi}{2}\) — точка \((0;\ -1)\).

1) Отсюда \(\sin 270^\circ = -1\), \(\cos 0^\circ = 1\). Котангенс определён при \(\sin \alpha \ne 0\), а \(\sin 90^\circ = 1\), поэтому \(\mathrm{ctg}\,90^\circ = \frac{\cos 90^\circ}{\sin 90^\circ} = \frac{0}{1} = 0\).

\[6\sin 270^\circ - 3\cos 0^\circ + 4\,\mathrm{ctg}\,90^\circ = 6 \cdot (-1) - 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = -9.\]

2) Здесь \(\cos\frac{3\pi}{2} = 0\), \(\sin\frac{3\pi}{2} = -1\), и, поскольку \(\sin\frac{3\pi}{2} \ne 0\), котангенс определён: \(\mathrm{ctg}\,\frac{3\pi}{2} = \frac{\cos\frac{3\pi}{2}}{\sin\frac{3\pi}{2}} = \frac{0}{-1} = 0\).

\[5\cos\frac{3\pi}{2} - 7\sin\frac{3\pi}{2} + \mathrm{ctg}\,\frac{3\pi}{2} = 5 \cdot 0 - 7 \cdot (-1) + 0 = 7.\]

3) Значения \(\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\), \(\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\mathrm{tg}\,\frac{\pi}{4} = 1\) известны из курса геометрии, а \(\mathrm{ctg}\,\frac{\pi}{6} = \frac{\cos\frac{\pi}{6}}{\sin\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2} : \frac{1}{2} = \sqrt{3}\). Кроме того, \(\cos\pi = -1\), \(\sin\frac{\pi}{2} = 1\).

\[\begin{aligned} &\frac{\left(\mathrm{ctg}\,\frac{\pi}{6} + \cos\frac{\pi}{6}\right) \cdot 4\,\mathrm{tg}\,\frac{\pi}{4}}{\cos\pi + 2\sin\frac{\pi}{2}} = \frac{\left(\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot 4 \cdot 1}{-1 + 2 \cdot 1} = {} \\ &= \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4}{1} = 6\sqrt{3}. \end{aligned}\]

Ответ: 1) \(-9\); 2) \(7\); 3) \(6\sqrt{3}\).

1) Поскольку \(-1 \leqslant \cos\alpha \leqslant 1\), то \(-5 \leqslant -5\cos\alpha \leqslant 5\). Отсюда \(-4 \leqslant 1 - 5\cos\alpha \leqslant 6\).

Наибольшее значение данного выражения равно \(6\); выражение принимает его при \(\cos\alpha = -1\). Наименьшее значение равно \(-4\); выражение принимает его при \(\cos\alpha = 1\).

2) Квадрат любого числа неотрицателен, а квадрат числа, не большего \(1\) по модулю, не больше \(1\), поэтому из \(-1 \leqslant \sin\alpha \leqslant 1\) следует \(0 \leqslant \sin^2\alpha \leqslant 1\). Отсюда \(4 \leqslant 4 + \sin^2\alpha \leqslant 5\).

Наибольшее значение равно \(5\); выражение принимает его при \(\sin\alpha = 1\) и при \(\sin\alpha = -1\). Наименьшее значение равно \(4\); выражение принимает его при \(\sin\alpha = 0\).

3) Данное выражение определено при \(\sin\alpha \ne 0\), то есть при \(\alpha \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). При таких \(\alpha\) имеем: \(\frac{\sin\alpha(3 - \cos\alpha)}{\sin\alpha} = 3 - \cos\alpha\).

Выражение \(3 - \cos\alpha\) принимает все значения от \(2\) до \(4\). Наименьшее значение выражения \(3 - \cos\alpha\), равное \(2\), достигается только при \(\cos\alpha = 1\); но абсциссу, равную \(1\), имеет единственная точка единичной окружности — точка \((1;\ 0)\), ордината которой равна нулю, то есть при \(\cos\alpha = 1\) выполняется \(\sin\alpha = 0\) и данное выражение не определено. Следовательно, наименьшего значения не существует.

Наибольшее значение выражения \(3 - \cos\alpha\), равное \(4\), достигается только при \(\cos\alpha = -1\), а этому отвечает точка \((-1;\ 0)\), ордината которой тоже равна нулю. Следовательно, и наибольшего значения не существует.

Ответ: 1) наибольшее значение \(6\), наименьшее значение \(-4\); 2) наибольшее значение \(5\), наименьшее значение \(4\); 3) наибольшего и наименьшего значений не существует.

1) Областью значений тангенса является множество \(\mathbf{R}\), то есть значения \(\mathrm{tg}\,x\) пробегают все действительные числа. Тогда \(\mathrm{tg}^2\,x\) принимает все значения промежутка \([0;\ +\infty)\), а \(\mathrm{tg}^2\,x + 2\) — все значения промежутка \([2;\ +\infty)\).

2) Когда \(x\) пробегает все действительные числа, аргумент \(3x\) тоже пробегает все действительные числа, поэтому \(\sin 3x\) принимает все значения промежутка \([-1;\ 1]\).

Имеем: \(-1 \leqslant \sin 3x \leqslant 1\); \(-1 \leqslant -\sin 3x \leqslant 1\); \(1 \leqslant 2 - \sin 3x \leqslant 3\).

Знаменатель принимает все значения от \(1\) до \(3\), и все они положительны, а с ростом положительного знаменателя дробь с числителем \(1\) убывает. Поэтому \(\frac{1}{3} \leqslant \frac{1}{2 - \sin 3x} \leqslant 1\), причём значение \(\frac{1}{3}\) достигается при \(\sin 3x = -1\), а значение \(1\) — при \(\sin 3x = 1\). Область значений данного выражения — промежуток \(\left[\frac{1}{3};\ 1\right]\).

3) Аргумент \(2x\) пробегает все действительные числа, поэтому \(\cos 2x\) принимает все значения промежутка \([-1;\ 1]\).

Имеем: \(-1 \leqslant \cos 2x \leqslant 1\); \(0 \leqslant 1 + \cos 2x \leqslant 2\). Значение \(0\) знаменатель принимать не может: при \(1 + \cos 2x = 0\) выражение не определено. Значит, знаменатель принимает все значения промежутка \((0;\ 2]\).

При \(0 < 1 + \cos 2x \leqslant 2\) получаем, что \(\frac{1}{1 + \cos 2x} \geqslant \frac{1}{2}\), причём равенство достигается при \(\cos 2x = 1\); чем меньше положительный знаменатель, тем больше дробь, поэтому достигается и любое значение, большее \(\frac{1}{2}\). Область значений данного выражения — промежуток \(\left[\frac{1}{2};\ +\infty\right)\).

Ответ: 1) \([2;\ +\infty)\); 2) \(\left[\frac{1}{3};\ 1\right]\); 3) \(\left[\frac{1}{2};\ +\infty\right)\).