Самостоятельная работа 20 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Котангенс, синус и тангенс — нечётные функции, а косинус — чётная функция, поэтому \(\mathrm{ctg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\mathrm{ctg}\,\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\), \(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}\), \(\mathrm{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\mathrm{tg}\,\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\).

Третье слагаемое содержит квадрат отличного от нуля числа, поэтому оно положительно, но вычитается: \(\mathrm{tg}^2\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\).

\[\begin{aligned} &2\,\mathrm{ctg}\left(-\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + 4\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) - \mathrm{tg}^2\left(-\frac{\pi}{6}\right) = {} \\ &= 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{3} = -1 - 2 - \frac{1}{3} = -\frac{10}{3}. \end{aligned}\]

Ответ: \(-\frac{10}{3}\).

1) Так как \(180^\circ < 192^\circ < 270^\circ\), угол \(192^\circ\) — угол III четверти, поэтому \(\sin 192^\circ < 0\). Так как \(270^\circ < 341^\circ < 360^\circ\), угол \(341^\circ\) — угол IV четверти, поэтому \(\cos 341^\circ > 0\). Следовательно, \(\sin 192^\circ < \cos 341^\circ\).

2) Поворот на угол \(-246^\circ\) приводит в ту же точку единичной окружности, что и поворот на угол \(-246^\circ + 360^\circ = 114^\circ\), а \(90^\circ < 114^\circ < 180^\circ\), поэтому \(-246^\circ\) — угол II четверти и \(\mathrm{ctg}(-246^\circ) < 0\). Угол \(246^\circ\) — угол III четверти (\(180^\circ < 246^\circ < 270^\circ\)), поэтому \(\mathrm{tg}\,246^\circ > 0\). Следовательно, \(\mathrm{ctg}(-246^\circ) < \mathrm{tg}\,246^\circ\).

3) \(\frac{8\pi}{15} = \frac{8 \cdot 180^\circ}{15} = 8 \cdot 12^\circ = 96^\circ\), и \(90^\circ < 96^\circ < 180^\circ\), поэтому \(96^\circ\) — угол II четверти и \(\cos\frac{8\pi}{15} < 0\). \(\frac{7\pi}{5} = \frac{7 \cdot 180^\circ}{5} = 7 \cdot 36^\circ = 252^\circ\) — угол III четверти, поэтому \(\mathrm{tg}\,\frac{7\pi}{5} > 0\). Следовательно, \(\cos\frac{8\pi}{15} < \mathrm{tg}\,\frac{7\pi}{5}\).

4) Здесь углы заданы в радианах. Поворот на угол \(8\) приводит в ту же точку, что и поворот на угол \(8 - 2\pi\); так как \(\pi \approx 3{,}14\), то \(8 - 2\pi \approx 1{,}72\), а \(\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57 < 1{,}72 < \pi\): число \(8\) — угол II четверти, поэтому \(\mathrm{ctg}\,8 < 0\). Так как \(0 < 1{,}5 < \frac{\pi}{2}\), число \(1{,}5\) — угол I четверти, поэтому \(\sin 1{,}5 > 0\). Следовательно, \(\mathrm{ctg}\,8 < \sin 1{,}5\).

Ответ: 1) \(\sin 192^\circ < \cos 341^\circ\); 2) \(\mathrm{ctg}(-246^\circ) < \mathrm{tg}\,246^\circ\); 3) \(\cos\frac{8\pi}{15} < \mathrm{tg}\,\frac{7\pi}{5}\); 4) \(\mathrm{ctg}\,8 < \sin 1{,}5\).

1) По условию \(\cos\alpha > 0\), а произведение \(\sin\alpha\cos\alpha\) положительно, поэтому множители имеют одинаковые знаки и \(\sin\alpha > 0\). Синус и косинус положительны у углов I четверти, значит, \(\alpha\) — угол I четверти.

2) Равенство \(|\cos\alpha| = \cos\alpha\) означает, что \(\cos\alpha \geqslant 0\). Случай \(\cos\alpha = 0\) невозможен: тогда произведение \(\sin\alpha\cos\alpha\) было бы равно нулю, а по условию оно отрицательно. Значит, \(\cos\alpha > 0\).

Произведение \(\sin\alpha\cos\alpha\) отрицательно, поэтому множители имеют разные знаки и \(\sin\alpha < 0\). Синус отрицателен, а косинус положителен у углов IV четверти, значит, \(\alpha\) — угол IV четверти.

Ответ: 1) угол I четверти; 2) угол IV четверти.

1) Знаменатель в нуль не обращается: \(\cos x \geqslant -1\), поэтому \(3 + \cos x \geqslant 2 > 0\). Значит, область определения данной функции \(D(f) = \mathbf{R}\) симметрична относительно начала координат.

Имеем:

\[f(-x) = \frac{(-x)\cos(-x)}{3 + \cos(-x)} = \frac{-x\cos x}{3 + \cos x} = -f(x).\]

Следовательно, данная функция — нечётная.

2) Знаменатель обращается в нуль при \(|x| = 6\), то есть при \(x = 6\) и при \(x = -6\). Значит, область определения данной функции — все действительные числа, кроме чисел \(6\) и \(-6\), — симметрична относительно начала координат.

Имеем:

\[f(-x) = \frac{\cos(-x)}{6 - |-x|} = \frac{\cos x}{6 - |x|} = f(x).\]

Следовательно, данная функция — чётная.

3) Сокращать дробь на \(x + 3\) нельзя: сокращение изменило бы область определения функции. Дробь определена при \(x + 3 \ne 0\), а котангенс — при \(x \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). Значит, область определения данной функции — все действительные числа, кроме числа \(-3\) и чисел вида \(\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).

Число \(3\) этой области принадлежит: оно не равно \(-3\) и не имеет вида \(\pi k\), поскольку \(0 < 3 < \pi\). А противоположное ему число \(-3\) области определения не принадлежит, поэтому область определения не симметрична относительно начала координат. Следовательно, данная функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: 1) функция \(f(x) = \frac{x\cos x}{3 + \cos x}\) — нечётная; 2) функция \(f(x) = \frac{\cos x}{6 - |x|}\) — чётная; 3) функция \(f(x) = \frac{(x + 3)\,\mathrm{ctg}\,x}{x + 3}\) не является ни чётной, ни нечётной.