Самостоятельная работа 19 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Косинус угла поворота — это абсцисса, а синус — ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки \(P_0(1;\ 0)\) на этот угол. Повороту на угол \(0^\circ\) отвечает точка \((1;\ 0)\), на \(90^\circ = \frac{\pi}{2}\) — точка \((0;\ 1)\), на \(180^\circ = \pi\) — точка \((-1;\ 0)\), на \(270^\circ = \frac{3\pi}{2}\) — точка \((0;\ -1)\).

1) Отсюда \(\cos 270^\circ = 0\), \(\sin 90^\circ = 1\). Тангенс определён при \(\cos \alpha \ne 0\), а \(\cos 180^\circ = -1\), поэтому \(\mathrm{tg}\,180^\circ = \frac{\sin 180^\circ}{\cos 180^\circ} = \frac{0}{-1} = 0\).

\[3\cos 270^\circ - 6\sin 90^\circ + 5\,\mathrm{tg}\,180^\circ = 3 \cdot 0 - 6 \cdot 1 + 5 \cdot 0 = -6.\]

2) Здесь \(\sin\frac{\pi}{2} = 1\), поэтому котангенс определён: \(\mathrm{ctg}\,\frac{\pi}{2} = \frac{\cos\frac{\pi}{2}}{\sin\frac{\pi}{2}} = \frac{0}{1} = 0\). Кроме того, \(\sin\pi = 0\), \(\cos\pi = -1\).

\[2\,\mathrm{ctg}\,\frac{\pi}{2} - 8\sin\pi + 7\cos\pi = 2 \cdot 0 - 8 \cdot 0 + 7 \cdot (-1) = -7.\]

3) Значения \(\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\), \(\mathrm{tg}\,\frac{\pi}{4} = 1\), \(\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\) известны из курса геометрии. Так как \(\sin\frac{3\pi}{2} = -1 \ne 0\), котангенс определён: \(\mathrm{ctg}\,\frac{3\pi}{2} = \frac{\cos\frac{3\pi}{2}}{\sin\frac{3\pi}{2}} = \frac{0}{-1} = 0\); ещё \(\sin\frac{\pi}{2} = 1\).

\[\begin{aligned} &\frac{\left(\cos\frac{\pi}{3} + \mathrm{tg}\,\frac{\pi}{4}\right) \cdot 8\sin\frac{\pi}{6}}{\mathrm{ctg}\,\frac{3\pi}{2} - \sin\frac{\pi}{2}} = \frac{\left(\frac{1}{2} + 1\right) \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}}{0 - 1} = {} \\ &= \frac{\frac{3}{2} \cdot 4}{-1} = -6. \end{aligned}\]

Ответ: 1) \(-6\); 2) \(-7\); 3) \(-6\).

1) Поскольку \(-1 \leqslant \sin\alpha \leqslant 1\), то \(-5 \leqslant -5\sin\alpha \leqslant 5\). Отсюда \(-3 \leqslant 2 - 5\sin\alpha \leqslant 7\).

Наибольшее значение данного выражения равно \(7\); выражение принимает его при \(\sin\alpha = -1\). Наименьшее значение равно \(-3\); выражение принимает его при \(\sin\alpha = 1\).

2) Квадрат любого числа неотрицателен, а квадрат числа, не большего \(1\) по модулю, не больше \(1\), поэтому из \(-1 \leqslant \cos\alpha \leqslant 1\) следует \(0 \leqslant \cos^2\alpha \leqslant 1\). Тогда \(-1 \leqslant -\cos^2\alpha \leqslant 0\), отсюда \(2 \leqslant 3 - \cos^2\alpha \leqslant 3\).

Наибольшее значение равно \(3\); выражение принимает его при \(\cos\alpha = 0\). Наименьшее значение равно \(2\); выражение принимает его при \(\cos\alpha = 1\) и при \(\cos\alpha = -1\).

3) Данное выражение определено при \(\sin\alpha \ne 0\), то есть при \(\alpha \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). При таких \(\alpha\) имеем: \(\frac{\sin\alpha(4 + \cos\alpha)}{\sin\alpha} = 4 + \cos\alpha\).

Выражение \(4 + \cos\alpha\) принимает все значения от \(3\) до \(5\). Наименьшее значение выражения \(4 + \cos\alpha\), равное \(3\), достигается только при \(\cos\alpha = -1\); но абсциссу, равную \(-1\), имеет единственная точка единичной окружности — точка \((-1;\ 0)\), ордината которой равна нулю, то есть при \(\cos\alpha = -1\) выполняется \(\sin\alpha = 0\) и данное выражение не определено. Следовательно, наименьшего значения не существует.

Наибольшее значение выражения \(4 + \cos\alpha\), равное \(5\), достигается только при \(\cos\alpha = 1\), а этому отвечает точка \((1;\ 0)\), ордината которой тоже равна нулю. Следовательно, и наибольшего значения не существует.

Ответ: 1) наибольшее значение \(7\), наименьшее значение \(-3\); 2) наибольшее значение \(3\), наименьшее значение \(2\); 3) наибольшего и наименьшего значений не существует.

1) Областью значений котангенса является множество \(\mathbf{R}\), то есть значения \(\mathrm{ctg}\,x\) пробегают все действительные числа. Тогда \(\mathrm{ctg}^2\,x\) принимает все значения промежутка \([0;\ +\infty)\), а \(\mathrm{ctg}^2\,x - 3\) — все значения промежутка \([-3;\ +\infty)\).

2) Когда \(x\) пробегает все действительные числа, аргумент \(4x\) тоже пробегает все действительные числа, поэтому \(\cos 4x\) принимает все значения промежутка \([-1;\ 1]\).

Имеем: \(-1 \leqslant \cos 4x \leqslant 1\); \(-1 \leqslant -\cos 4x \leqslant 1\); \(4 \leqslant 5 - \cos 4x \leqslant 6\).

Знаменатель принимает все значения от \(4\) до \(6\), и все они положительны, а с ростом положительного знаменателя дробь с числителем \(1\) убывает. Поэтому \(\frac{1}{6} \leqslant \frac{1}{5 - \cos 4x} \leqslant \frac{1}{4}\), причём значение \(\frac{1}{6}\) достигается при \(\cos 4x = -1\), а значение \(\frac{1}{4}\) — при \(\cos 4x = 1\). Область значений данного выражения — промежуток \(\left[\frac{1}{6};\ \frac{1}{4}\right]\).

3) Аргумент \(5x\) пробегает все действительные числа, поэтому \(\sin 5x\) принимает все значения промежутка \([-1;\ 1]\).

Имеем: \(-1 \leqslant \sin 5x \leqslant 1\); \(0 \leqslant 1 + \sin 5x \leqslant 2\). Значение \(0\) знаменатель принимать не может: при \(1 + \sin 5x = 0\) выражение не определено. Значит, знаменатель принимает все значения промежутка \((0;\ 2]\).

При \(0 < 1 + \sin 5x \leqslant 2\) получаем, что \(\frac{1}{1 + \sin 5x} \geqslant \frac{1}{2}\), причём равенство достигается при \(\sin 5x = 1\); чем меньше положительный знаменатель, тем больше дробь, поэтому достигается и любое значение, большее \(\frac{1}{2}\). Область значений данного выражения — промежуток \(\left[\frac{1}{2};\ +\infty\right)\).

Ответ: 1) \([-3;\ +\infty)\); 2) \(\left[\frac{1}{6};\ \frac{1}{4}\right]\); 3) \(\left[\frac{1}{2};\ +\infty\right)\).