Самостоятельная работа 18 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Радианная и градусная меры угла связаны равенством \(\pi\) рад \(= 180^\circ\), откуда \(1^\circ = \frac{\pi}{180}\) рад. Значит, чтобы найти радианную меру угла, его градусную меру умножают на \(\frac{\pi}{180}\).

1) \(10^\circ = 10 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{10\pi}{180} = \frac{\pi}{18}\).

2) \(270^\circ = 270 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{270\pi}{180} = \frac{3\pi}{2}\).

Ответ: 1) \(\frac{\pi}{18}\); 2) \(\frac{3\pi}{2}\).

Так как \(\pi\) рад \(= 180^\circ\), то для перехода к градусной мере достаточно заменить в записи радианной меры число \(\pi\) на \(180^\circ\).

1) \(\frac{\pi}{15} = \frac{180^\circ}{15} = 12^\circ\).

2) Число \(1\frac{5}{6}\) — смешанное, поэтому \(1\frac{5}{6}\pi = \frac{11}{6}\pi\). Тогда \(\frac{11}{6}\pi = \frac{11 \cdot 180^\circ}{6} = 11 \cdot 30^\circ = 330^\circ\).

Ответ: 1) \(12^\circ\); 2) \(330^\circ\).

Точка, полученная поворотом точки \(P_0(1;\ 0)\) на угол \(\alpha\), лежит в I координатной четверти при \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\), во II — при \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), в III — при \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\), в IV — при \(\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\). Углы поворота, отличающиеся на полный оборот, дают одну и ту же точку, поэтому отрицательный угол удобно заменить на угол, отличающийся от него на \(2\pi\).

1) Так как \(90^\circ < 126^\circ < 180^\circ\), точка лежит во II координатной четверти.

2) Так как \(\frac{1}{5} < \frac{1}{2}\), то \(0 < \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{2}\): точка лежит в I координатной четверти.

3) Поворот на угол \(-\frac{7\pi}{6}\) приводит в ту же точку, что и поворот на угол \(-\frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{5\pi}{6}\). Так как \(\frac{1}{2} < \frac{5}{6} < 1\), то \(\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi\): точка лежит во II координатной четверти.

4) Здесь угол задан в радианах: \(-5\) — это угол в \(-5\) рад, а не \(-5^\circ\). Поворот на угол \(-5\) приводит в ту же точку, что и поворот на угол \(-5 + 2\pi\); так как \(\pi \approx 3{,}14\), то \(-5 + 2\pi \approx 1{,}28\). Поскольку \(\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\), выполняется \(0 < 1{,}28 < \frac{\pi}{2}\): точка лежит в I координатной четверти.

Ответ: 1) во II координатной четверти; 2) в I координатной четверти; 3) во II координатной четверти; 4) в I координатной четверти.

Здесь поворот выполняется не от привычной точки \((1;\ 0)\), а от точки \(P_0(-1;\ 0)\); сама эта точка получается из точки \((1;\ 0)\) поворотом на угол \(\pi\). Поэтому если искомая точка получается из точки \((1;\ 0)\) поворотом на угол \(\alpha\), то из точки \(P_0(-1;\ 0)\) в неё ведёт поворот на угол \(\alpha - \pi\), а вместе с ним и все углы вида \(\alpha - \pi + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\): углы поворота, отличающиеся на полный оборот, дают одну и ту же точку.

1) Точка \(P_1\left(\frac{1}{2};\ -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) лежит в IV координатной четверти. Опустим из неё перпендикуляр \(P_1N\) на ось абсцисс. В прямоугольном треугольнике \(ONP_1\) гипотенуза \(OP_1 = 1\) (это радиус единичной окружности), катет \(ON = \frac{1}{2}\), катет \(NP_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Катет \(ON\) вдвое меньше гипотенузы, поэтому противолежащий ему угол \(OP_1N\) равен \(30^\circ\), а угол \(NOP_1\) равен \(60^\circ\) (те же значения даёт известная из курса геометрии таблица: \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)).

Точка \(P_1\) лежит ниже оси абсцисс, значит, из точки \((1;\ 0)\) в неё ведёт поворот по часовой стрелке на \(60^\circ\), то есть поворот на угол \(-60^\circ = -\frac{\pi}{3}\). Тогда из точки \(P_0(-1;\ 0)\) в точку \(P_1\) ведёт поворот на угол \(-\frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{4\pi}{3}\); в ту же точку ведёт и поворот на угол \(-\frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{2\pi}{3}\), отличающийся от него на полный оборот.

2) Точка \(P_2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\) лежит во II координатной четверти, её абсцисса и ордината равны по модулю. Поэтому в прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(OP_2 = 1\) катеты равны, треугольник равнобедренный и оба его острых угла равны \(45^\circ\): радиус \(OP_2\) образует с отрицательной полуосью абсцисс угол \(45^\circ\).

Значит, из точки \((1;\ 0)\) в точку \(P_2\) ведёт поворот на угол \(180^\circ - 45^\circ = 135^\circ = \frac{3\pi}{4}\), а из точки \(P_0(-1;\ 0)\) — поворот на угол \(\frac{3\pi}{4} - \pi = -\frac{\pi}{4}\).

Ответ: 1) \(\frac{2\pi}{3} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); 2) \(-\frac{\pi}{4} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).

1) Все углы вида \(\frac{\pi}{4} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), отличаются от угла \(\frac{\pi}{4}\) на целое число полных оборотов, поэтому все они дают одну и ту же точку — ту, которую даёт поворот на угол \(\frac{\pi}{4} = 45^\circ\).

Радиус \(OP\) образует с положительной полуосью абсцисс угол \(45^\circ\), поэтому в прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(OP = 1\) оба острых угла равны \(45^\circ\) и катеты равны между собой. Если длина каждого катета равна \(a\), то по теореме Пифагора \(a^2 + a^2 = 1\), откуда \(a^2 = \frac{1}{2}\) и \(a = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Точка лежит в I четверти, обе её координаты положительны.

2) Углы вида \(\frac{\pi k}{3}\) — это углы \(k \cdot 60^\circ\). При \(k = 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\) получаем повороты на \(0^\circ\), \(60^\circ\), \(120^\circ\), \(180^\circ\), \(240^\circ\), \(300^\circ\), а дальше точки повторяются, потому что \(\frac{\pi(k + 6)}{3} = \frac{\pi k}{3} + 2\pi\) — угол, отличающийся от угла \(\frac{\pi k}{3}\) на полный оборот. Значит, различных точек шесть, и это вершины правильного шестиугольника, вписанного в единичную окружность.

Поворот на \(60^\circ\) даёт точку I четверти, у которой в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 1 катет, прилежащий к углу \(60^\circ\), равен \(\frac{1}{2}\), а противолежащий — \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) (значения \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\) и \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) известны из курса геометрии), то есть точку \(\left(\frac{1}{2};\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\). Точка поворота на \(120^\circ\) симметрична ей относительно оси ординат, а точки поворотов на \(240^\circ\) и \(300^\circ\) симметричны точкам поворотов на \(60^\circ\) и \(120^\circ\) относительно начала координат.

Ответ: 1) \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\); 2) шесть точек: \((1;\ 0)\), \(\left(\frac{1}{2};\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\), \(\left(-\frac{1}{2};\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\), \((-1;\ 0)\), \(\left(-\frac{1}{2};\ -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\), \(\left(\frac{1}{2};\ -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\).