Самостоятельная работа 18 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Радианная и градусная меры угла связаны равенством \(\pi\) рад \(= 180^\circ\), откуда \(1^\circ = \frac{\pi}{180}\) рад. Значит, чтобы найти радианную меру угла, его градусную меру умножают на \(\frac{\pi}{180}\).

1) \(48^\circ = 48 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{48\pi}{180} = \frac{4\pi}{15}\).

2) \(315^\circ = 315 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{315\pi}{180} = \frac{7\pi}{4}\).

Ответ: 1) \(\frac{4\pi}{15}\); 2) \(\frac{7\pi}{4}\).

Так как \(\pi\) рад \(= 180^\circ\), то для перехода к градусной мере достаточно заменить в записи радианной меры число \(\pi\) на \(180^\circ\).

1) \(\frac{\pi}{18} = \frac{180^\circ}{18} = 10^\circ\).

2) Число \(1\frac{4}{5}\) — смешанное, поэтому \(1\frac{4}{5}\pi = \frac{9}{5}\pi\). Тогда \(\frac{9}{5}\pi = \frac{9 \cdot 180^\circ}{5} = 9 \cdot 36^\circ = 324^\circ\).

Ответ: 1) \(10^\circ\); 2) \(324^\circ\).

Точка, полученная поворотом точки \(P_0(1;\ 0)\) на угол \(\alpha\), лежит в I координатной четверти при \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\), во II — при \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), в III — при \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\), в IV — при \(\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\). Углы поворота, отличающиеся на полный оборот, дают одну и ту же точку, поэтому отрицательный угол удобно заменить на угол, отличающийся от него на \(2\pi\).

1) Так как \(90^\circ < 149^\circ < 180^\circ\), точка лежит во II координатной четверти.

2) Так как \(\frac{1}{8} < \frac{1}{2}\), то \(0 < \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{2}\): точка лежит в I координатной четверти.

3) Поворот на угол \(-\frac{10}{7}\pi\) приводит в ту же точку, что и поворот на угол \(-\frac{10\pi}{7} + 2\pi = \frac{4\pi}{7}\). Так как \(\frac{1}{2} < \frac{4}{7} < 1\), то \(\frac{\pi}{2} < \frac{4\pi}{7} < \pi\): точка лежит во II координатной четверти.

4) Здесь угол задан в радианах: \(-6\) — это угол в \(-6\) рад, а не \(-6^\circ\). Поворот на угол \(-6\) приводит в ту же точку, что и поворот на угол \(-6 + 2\pi\); так как \(\pi \approx 3{,}14\), то \(-6 + 2\pi \approx 0{,}28\). Поскольку \(\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\), выполняется \(0 < 0{,}28 < \frac{\pi}{2}\): точка лежит в I координатной четверти.

Ответ: 1) во II координатной четверти; 2) в I координатной четверти; 3) во II координатной четверти; 4) в I координатной четверти.

Поворот выполняется от точки \(P_0(1;\ 0)\). Если искомая точка получается из неё поворотом на угол \(\alpha\), то ей отвечают и все углы вида \(\alpha + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\): углы поворота, отличающиеся на полный оборот, дают одну и ту же точку.

1) Точка \(P_1\left(-\frac{1}{2};\ -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) лежит в III координатной четверти. Опустим из неё перпендикуляр \(P_1N\) на ось абсцисс. В прямоугольном треугольнике \(ONP_1\) гипотенуза \(OP_1 = 1\) (это радиус единичной окружности), катет \(ON = \frac{1}{2}\), катет \(NP_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Катет \(ON\) вдвое меньше гипотенузы, поэтому противолежащий ему угол \(OP_1N\) равен \(30^\circ\), а угол \(NOP_1\) равен \(60^\circ\) (те же значения даёт известная из курса геометрии таблица: \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)).

Радиус \(OP_1\) образует с отрицательной полуосью абсцисс угол \(60^\circ\), и точка лежит ниже оси абсцисс. Значит, из точки \(P_0(1;\ 0)\) в неё ведёт поворот против часовой стрелки на \(180^\circ + 60^\circ = 240^\circ\), то есть поворот на угол \(\frac{4\pi}{3}\).

2) Точка \(P_2\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\) лежит в IV координатной четверти, её абсцисса и ордината равны по модулю. Поэтому в прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(OP_2 = 1\) катеты равны, треугольник равнобедренный и оба его острых угла равны \(45^\circ\): радиус \(OP_2\) образует с положительной полуосью абсцисс угол \(45^\circ\), а точка лежит ниже оси абсцисс.

Значит, из точки \(P_0(1;\ 0)\) в точку \(P_2\) ведёт поворот по часовой стрелке на \(45^\circ\), то есть поворот на угол \(-45^\circ = -\frac{\pi}{4}\).

Ответ: 1) \(\frac{4\pi}{3} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); 2) \(-\frac{\pi}{4} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).

1) Все углы вида \(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), отличаются от угла \(-\frac{\pi}{3}\) на целое число полных оборотов, поэтому все они дают одну и ту же точку — ту, которую даёт поворот на угол \(-\frac{\pi}{3} = -60^\circ\), то есть поворот по часовой стрелке на \(60^\circ\).

Полученная точка лежит в IV четверти, а радиус \(OP\) образует с положительной полуосью абсцисс угол \(60^\circ\). В прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(OP = 1\) катет, прилежащий к углу \(60^\circ\), равен \(\frac{1}{2}\), а противолежащий — \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) (значения \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\) и \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) известны из курса геометрии). Абсцисса точки положительна, ордината отрицательна.

2) Углы вида \(\frac{3\pi k}{4}\) — это углы \(k \cdot 135^\circ\). Так как \(135^\circ = 3 \cdot 45^\circ\), каждый такой угол кратен \(45^\circ\).

Точки повторяются, когда угол увеличивается на целое число полных оборотов, то есть когда \(\frac{3\pi m}{4}\) кратно \(2\pi\). Это означает, что число \(\frac{3m}{4}\) чётное, то есть \(3m\) делится на \(8\); числа \(3\) и \(8\) взаимно просты, поэтому наименьшее такое натуральное \(m\) равно \(8\). Действительно, \(\frac{3\pi \cdot 8}{4} = 6\pi\) — это три полных оборота. Значит, различных точек ровно восемь.

При \(k = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots,\ 7\) повороты происходят на углы \(0^\circ\), \(135^\circ\), \(270^\circ\), \(405^\circ\), \(540^\circ\), \(675^\circ\), \(810^\circ\), \(945^\circ\); отбросив полные обороты, получаем повороты на \(0^\circ\), \(135^\circ\), \(270^\circ\), \(45^\circ\), \(180^\circ\), \(315^\circ\), \(90^\circ\), \(225^\circ\) — все восемь углов, кратных \(45^\circ\). Точки этих поворотов — вершины правильного восьмиугольника, вписанного в единичную окружность, а сами повороты обходят их не подряд: каждый следующий поворот сдвигает точку на три вершины.

Поворот на \(45^\circ\) даёт точку \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\): радиус образует с положительной полуосью абсцисс угол \(45^\circ\), поэтому в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 1 оба острых угла равны \(45^\circ\) и катеты равны между собой; если длина каждого катета равна \(a\), то по теореме Пифагора \(a^2 + a^2 = 1\), откуда \(a^2 = \frac{1}{2}\) и \(a = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Остальные точки, не лежащие на осях координат, симметричны ей относительно осей координат и начала координат.

Ответ: 1) \(\left(\frac{1}{2};\ -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\); 2) восемь точек: \((1;\ 0)\), \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\), \((0;\ 1)\), \(\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\), \((-1;\ 0)\), \(\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\), \((0;\ -1)\), \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\).