Самостоятельная работа 20 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Косинус — чётная функция, а синус и тангенс — нечётные, поэтому \(\mathrm{tg}\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\mathrm{tg}\,\dfrac{\pi}{4} = -1\), \(\mathrm{tg}\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = -\mathrm{tg}\,\dfrac{\pi}{3} = -\sqrt{3}\), \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{2} = -1\), \(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Значит, \(\mathrm{tg}^2\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \left(-\sqrt{3}\right)^2 = 3\) — квадрат отрицательного числа положителен, и \(\cos^2\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{3}{4}\).

\[\begin{aligned} &2\,\mathrm{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)\mathrm{tg}^2\left(-\frac{\pi}{3}\right) + 3\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) + 10\cos^2\left(-\frac{\pi}{6}\right) = {} \\ &= 2 \cdot (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-1) + 10 \cdot \frac{3}{4} = -6 - 3 + 7{,}5 = -1{,}5. \end{aligned}\]

Ответ: \(-1{,}5\).

1) Угол \(40^\circ\) — угол I четверти, так как \(0^\circ < 40^\circ < 90^\circ\), поэтому \(\cos 40^\circ > 0\). Угол \(240^\circ\) — угол III четверти, так как \(180^\circ < 240^\circ < 270^\circ\), поэтому \(\sin 240^\circ < 0\). Положительное число больше отрицательного, следовательно, \(\cos 40^\circ > \sin 240^\circ\).

2) Угол \(160^\circ\) — угол II четверти, так как \(90^\circ < 160^\circ < 180^\circ\), а тангенсы углов II четверти отрицательны, поэтому \(\mathrm{tg}\,160^\circ < 0\). Повороту на отрицательный угол отвечает движение по часовой стрелке, поэтому точки III четверти получаются при поворотах на углы от \(-90^\circ\) до \(-180^\circ\). Так как \(-180^\circ < -160^\circ < -90^\circ\), то \(-160^\circ\) — угол III четверти, а котангенсы углов III четверти положительны, поэтому \(\mathrm{ctg}\,(-160^\circ) > 0\). Следовательно, \(\mathrm{tg}\,160^\circ < \mathrm{ctg}\,(-160^\circ)\).

3) Так как \(\dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{15\pi}{10} < \dfrac{17\pi}{10} < \dfrac{20\pi}{10} = 2\pi\), то \(\dfrac{17\pi}{10}\) — угол IV четверти и \(\sin\dfrac{17\pi}{10} < 0\). Так как \(0 < \dfrac{3\pi}{10} < \dfrac{5\pi}{10} = \dfrac{\pi}{2}\), то \(\dfrac{3\pi}{10}\) — угол I четверти и \(\cos\dfrac{3\pi}{10} > 0\). Следовательно, \(\sin\dfrac{17\pi}{10} < \cos\dfrac{3\pi}{10}\).

4) Так как \(\dfrac{3\pi}{2} \approx 4{,}71\) и \(2\pi \approx 6{,}28\), то \(\dfrac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi\), значит, \(5\) — угол IV четверти и \(\mathrm{tg}\,5 < 0\). Так как \(\dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57\) и \(\pi \approx 3{,}14\), то \(\dfrac{\pi}{2} < 2{,}5 < \pi\), значит, \(2{,}5\) — угол II четверти и \(\sin 2{,}5 > 0\). Следовательно, \(\mathrm{tg}\,5 < \sin 2{,}5\).

Ответ: 1) \(\cos 40^\circ > \sin 240^\circ\); 2) \(\mathrm{tg}\,160^\circ < \mathrm{ctg}\,(-160^\circ)\); 3) \(\sin\dfrac{17\pi}{10} < \cos\dfrac{3\pi}{10}\); 4) \(\mathrm{tg}\,5 < \sin 2{,}5\).

1) По условию \(\sin \alpha > 0\), поэтому из неравенства \(\sin \alpha \cos \alpha < 0\) следует, что \(\cos \alpha < 0\): при \(\cos \alpha \geqslant 0\) произведение \(\sin \alpha \cos \alpha\) не было бы отрицательным. Оба значения отличны от нуля, поэтому угол \(\alpha\) не имеет вида \(\dfrac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\), и относится к одной из четвертей. Синус положителен, а косинус отрицателен только у углов II четверти. Значит, \(\alpha\) — угол II четверти.

2) Равенство \(|\sin \alpha| = \sin \alpha\) выполняется тогда и только тогда, когда \(\sin \alpha \geqslant 0\). При \(\sin \alpha = 0\) произведение \(\sin \alpha \cos \alpha\) равнялось бы нулю, а по условию оно положительно; значит, \(\sin \alpha > 0\). Тогда из неравенства \(\sin \alpha \cos \alpha > 0\) следует, что \(\cos \alpha > 0\). Синус и косинус положительны только у углов I четверти. Значит, \(\alpha\) — угол I четверти.

Ответ: 1) \(\alpha\) — угол II четверти; 2) \(\alpha\) — угол I четверти.

1) Так как \(\cos x \leqslant 1 < 2\), то \(2 - \cos x \geqslant 1 > 0\) и знаменатель дроби в нуль не обращается; тангенс определён при \(x \ne \dfrac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). Область определения данной функции — все действительные числа, кроме чисел вида \(\dfrac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), — симметрична относительно начала координат. Имеем:

\[f(-x) = \frac{(-x)\,\mathrm{tg}\,(-x)}{2 - \cos(-x)} = \frac{(-x)(-\mathrm{tg}\,x)}{2 - \cos x} = \frac{x\,\mathrm{tg}\,x}{2 - \cos x} = f(x).\]

Следовательно, данная функция — чётная.

2) Знаменатель дроби обращается в нуль при \(|x| = 3\), то есть при \(x = -3\) и при \(x = 3\). Область определения данной функции — все действительные числа, кроме чисел \(-3\) и \(3\), — симметрична относительно начала координат. Имеем:

\[f(-x) = \frac{\sin(-x)}{|-x| - 3} = \frac{-\sin x}{|x| - 3} = -f(x).\]

Следовательно, данная функция — нечётная.

3) Тангенс определён при \(x \ne \dfrac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), а знаменатель дроби обращается в нуль при \(x = \dfrac{\pi}{4}\). Область определения данной функции — все действительные числа, кроме числа \(\dfrac{\pi}{4}\) и чисел вида \(\dfrac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). Число \(\dfrac{\pi}{4}\) области определения не принадлежит, а противоположное ему число \(-\dfrac{\pi}{4}\) принадлежит: оно не равно \(\dfrac{\pi}{4}\) и ни при каком целом \(k\) не имеет вида \(\dfrac{\pi}{2} + \pi k\). Значит, область определения не симметрична относительно начала координат, и сокращать дробь нельзя. Следовательно, данная функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: 1) функция \(f(x) = \dfrac{x\,\mathrm{tg}\,x}{2 - \cos x}\) — чётная; 2) функция \(f(x) = \dfrac{\sin x}{|x| - 3}\) — нечётная; 3) функция \(f(x) = \dfrac{\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\mathrm{tg}\,x}{x - \frac{\pi}{4}}\) не является ни чётной, ни нечётной.