Самостоятельная работа 21 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Период функции \(y = \mathrm{ctg}\,x\) равен \(\pi\), то есть \(180^\circ\), а сама функция нечётна:

\[\mathrm{ctg}\,(-405^\circ) = \mathrm{ctg}\,(-45^\circ - 2 \cdot 180^\circ) = \mathrm{ctg}\,(-45^\circ) = -\mathrm{ctg}\,45^\circ = -1.\]

2) Период функции \(y = \sin x\) равен \(2\pi\), а сама функция нечётна:

\[\sin\frac{31\pi}{6} = \sin\left(-\frac{5\pi}{6} + 3 \cdot 2\pi\right) = \sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\sin\frac{5\pi}{6} = -\frac{1}{2}.\]

3) Период функции \(y = \mathrm{tg}\,x\) равен \(\pi\):

\[\mathrm{tg}\left(-\frac{17\pi}{3}\right) = \mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{3} - 6 \cdot \pi\right) = \mathrm{tg}\,\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}.\]

Ответ: 1) \(-1\); 2) \(-\dfrac{1}{2}\); 3) \(\sqrt{3}\).

2. На рисунке 3 изображена часть графика периодической функции, период которой равен \(T\). Постройте график этой функции на промежутке \([-2T;\ 2T]\).

Части графика периодической функции на промежутках, сдвинутых один относительно другого на \(Tn\), где \(n\) — целое число, — равные фигуры. Поэтому график на промежутке \([-2T;\ 2T]\) получается из показанного куска параллельными переносами на векторы с координатами \((Tn;\ 0)\).

а) Сторона клетки — единичный отрезок, а штриховая прямая проведена в пяти клетках от начала координат, поэтому \(T = 5\). Показан кусок графика на промежутке \((0;\ 5]\): точка \((0;\ 2)\) отмечена пустым кружком и графику не принадлежит, а правый конец промежутка принадлежит, причём \(f(5) = -1\). Промежуток \([-2T;\ 2T] = [-10;\ 10]\) разбивается на четыре промежутка длиной \(5\): \((-10;\ -5]\), \((-5;\ 0]\), \((0;\ 5]\), \((5;\ 10]\); на каждом из них график получается переносом показанного куска на вектор \((5n;\ 0)\) при \(n = -2\), \(-1\), \(0\), \(1\). Кроме того, \(f(-10) = f(-5) = -1\), поэтому точка \((-10;\ -1)\) графику принадлежит. Непосредственно слева от каждой точки вида \(x = 5n\) значения функции равны \(-1\), а справа они приближаются к \(2\), поэтому в таких точках стоят залитая точка на высоте \(-1\) и пустой кружок на высоте \(2\), а отрезком они не соединяются; в правом конце промежутка, где следующей копии уже нет, остаётся только залитая точка \((10;\ -1)\).

б) Единичных делений на этом чертеже нет: масштаб задан через \(T\). Показан кусок графика на отрезке \(\left[-\dfrac{T}{2};\ \dfrac{T}{2}\right]\) — ломаная из двух отрезков с вершиной в начале координат; концы куска лежат на одной высоте, обозначим её \(h\). Значения на концах равны, поэтому соседние копии куска стыкуются без скачка и график — непрерывная ломаная. Переносы на векторы \((Tn;\ 0)\) при \(n = -2\), \(-1\), \(1\), \(2\) вместе с показанным куском покрывают весь промежуток \([-2T;\ 2T]\); части, вышедшие за его границы, не изображаются. Излом вниз график имеет в точках вида \(x = Tn\) на высоте \(0\), излом вверх — в точках вида \(x = \dfrac{T}{2} + Tn\) на высоте \(h\); концы промежутка \([-2T;\ 2T]\) попадают в нижние изломы.

1) Область определения функции \(f(x) = \sin\dfrac{x}{3}\) — все действительные числа, поэтому вместе с каждым числом \(x\) ей принадлежат и числа \(x - 6\pi\), \(x + 6\pi\). Период синуса равен \(2\pi\), поэтому для любого \(x\)

\[f(x - 6\pi) = \sin\frac{x - 6\pi}{3} = \sin\left(\frac{x}{3} - 2\pi\right) = \sin\frac{x}{3} = f(x);\] \[f(x + 6\pi) = \sin\frac{x + 6\pi}{3} = \sin\left(\frac{x}{3} + 2\pi\right) = \sin\frac{x}{3} = f(x).\]

Значит, для любого \(x\) из области определения выполняются равенства \(f(x - 6\pi) = f(x) = f(x + 6\pi)\), причём \(6\pi \ne 0\). Следовательно, число \(6\pi\) — период функции \(f\).

2) Функция \(f(x) = \mathrm{tg}\,\dfrac{\pi x}{5}\) определена при \(\dfrac{\pi x}{5} \ne \dfrac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), то есть при \(x \ne \dfrac{5}{2} + 5k\), \(k \in \mathbf{Z}\). Если бы число \(x + 5\) имело вид \(\dfrac{5}{2} + 5k\), то и число \(x = \dfrac{5}{2} + 5(k - 1)\) имело бы этот вид, чего быть не может; так же и для числа \(x - 5\). Значит, вместе с каждым числом \(x\) области определения принадлежат и числа \(x - 5\), \(x + 5\). Период тангенса равен \(\pi\), поэтому для любого \(x\) из области определения

\[f(x - 5) = \mathrm{tg}\,\frac{\pi(x - 5)}{5} = \mathrm{tg}\left(\frac{\pi x}{5} - \pi\right) = \mathrm{tg}\,\frac{\pi x}{5} = f(x);\] \[f(x + 5) = \mathrm{tg}\,\frac{\pi(x + 5)}{5} = \mathrm{tg}\left(\frac{\pi x}{5} + \pi\right) = \mathrm{tg}\,\frac{\pi x}{5} = f(x).\]

Значит, выполняются равенства \(f(x - 5) = f(x) = f(x + 5)\), причём \(5 \ne 0\). Следовательно, число \(5\) — период функции \(f\).

Ответ: число \(6\pi\) — период функции \(f(x) = \sin\dfrac{x}{3}\); число \(5\) — период функции \(f(x) = \mathrm{tg}\,\dfrac{\pi x}{5}\).

Общий период функций \(f(x) = \cos 4x\) и \(g(x) = \mathrm{tg}\,\dfrac{2x}{3}\) является периодом данной функции.

Главный период функции \(y = \cos(kx + b)\) равен \(\dfrac{2\pi}{|k|}\), а главный период функции \(y = \mathrm{tg}\,(kx + b)\) равен \(\dfrac{\pi}{|k|}\), поэтому \(T_f = 2\pi : 4 = \dfrac{\pi}{2}\), \(T_g = \pi : \dfrac{2}{3} = \dfrac{3\pi}{2}\).

Тогда \(\dfrac{T_f}{T_g} = \dfrac{\pi}{2} : \dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{1}{3}\) — число рациональное. Следовательно, периоды \(T_f\) и \(T_g\) соизмеримы, а поэтому функции \(f\) и \(g\) имеют общий период \(T\). Он равен \(3T_f\) или \(T_g\), то есть \(T = \dfrac{3\pi}{2}\).

Ответ: \(\dfrac{3\pi}{2}\).

Если \(a = 0\), то \(f(x) = \mathrm{tg}\,0 = 0\) при любом \(x\), то есть функция постоянна. Периодом постоянной функции является любое отличное от нуля число, в том числе и число \(\dfrac{5\pi}{3}\). Значит, значение \(a = 0\) подходит.

Пусть \(a \ne 0\). Главный период функции \(f(x) = \mathrm{tg}\,ax\) равен \(\dfrac{\pi}{|a|}\). Если функция имеет главный период \(T_0\), то любой её период имеет вид \(nT_0\), где \(n\) — целое число, отличное от нуля. Число \(\dfrac{5\pi}{3}\) положительно, поэтому оно является периодом данной функции тогда и только тогда, когда \(\dfrac{5\pi}{3} = \dfrac{\pi n}{|a|}\) при некотором натуральном \(n\). Отсюда \(|a| = \dfrac{3n}{5}\), то есть \(a = \dfrac{3n}{5}\) или \(a = -\dfrac{3n}{5}\), где \(n\) — натуральное число.

Вместе со значением \(a = 0\) все найденные значения записываются одной формулой \(a = \dfrac{3n}{5}\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Проверка: при \(n = 1\) получаем \(a = \dfrac{3}{5}\), и главный период функции \(y = \mathrm{tg}\,\dfrac{3x}{5}\) равен \(\pi : \dfrac{3}{5} = \dfrac{5\pi}{3}\) — это данное число \(T\).

Ответ: \(a = \dfrac{3n}{5}\), \(n \in \mathbf{Z}\).