Самостоятельная работа 13 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Оба числа в каждом пункте положительны, поэтому их можно сравнивать, приведя корни к общему показателю: корень одной и той же степени тем больше, чем больше подкоренное число (функция \(y = \sqrt[n]{x}\) возрастающая).

1) Общий показатель для \(2\) и \(5\) — число \(10\). Подкоренные числа неотрицательны, поэтому показатель корня и показатель степени под ним можно умножить на одно и то же число: \[\sqrt{3} = \sqrt[10]{3^5} = \sqrt[10]{243}, \qquad \sqrt[5]{16} = \sqrt[10]{16^2} = \sqrt[10]{256}.\]

Так как \(243 < 256\), то \(\sqrt[10]{243} < \sqrt[10]{256}\), то есть \(\sqrt{3} < \sqrt[5]{16}\).

2) Общий показатель для \(18\) и \(12\) — число \(36\): \[\sqrt[18]{19} = \sqrt[36]{19^2} = \sqrt[36]{361}, \qquad \sqrt[12]{7} = \sqrt[36]{7^3} = \sqrt[36]{343}.\]

Так как \(361 > 343\), то \(\sqrt[36]{361} > \sqrt[36]{343}\), то есть \(\sqrt[18]{19} > \sqrt[12]{7}\). Подкоренные числа близки, поэтому прикидка десятичными дробями здесь ненадёжна — сравнивать надо именно подкоренные числа.

Ответ: 1) \(\sqrt{3} < \sqrt[5]{16}\); 2) \(\sqrt[18]{19} > \sqrt[12]{7}\).

1) Подкоренное выражение \((x + 1)^4\) неотрицательно при любом \(x\), поэтому область определения функции — все действительные числа. Показатель корня чётный и совпадает с показателем степени под ним, поэтому корень равен модулю основания: \(y = \sqrt[4]{(x + 1)^4} = |x + 1|\). Это не прямая \(y = x + 1\), а «уголок»: при \(x \geqslant -1\) получаем \(y = x + 1\), при \(x < -1\) получаем \(y = -x - 1\). Вершина «уголка» — точка \((-1;\ 0)\).

2) Каждый множитель — корень чётной (шестой) степени, поэтому область определения задают оба подкоренных выражения сразу: \((x - 1)^5 \geqslant 0\) и \(x - 1 \geqslant 0\). Оба условия дают \(x \geqslant 1\).

При \(x \geqslant 1\) оба подкоренных выражения неотрицательны, поэтому произведение корней равно корню из произведения: \[\begin{aligned} &y = \sqrt[6]{(x - 1)^5} \cdot \sqrt[6]{x - 1} = \sqrt[6]{(x - 1)^5 (x - 1)} = {} \\ &= \sqrt[6]{(x - 1)^6} = |x - 1| = x - 1. \end{aligned}\]

График — не «уголок», а луч: слева от точки \(x = 1\) функция не определена. Луч выходит из точки \((1;\ 0)\), и сама эта точка графику принадлежит.

1) Корень чётной степени существует, только если \(x^{17} \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant 0\). Выделим под корнем четвёртую степень: \(x^{17} = x^{16} \cdot x\), оба множителя неотрицательны. Тогда \[\sqrt[4]{x^{17}} = \sqrt[4]{\left(x^4\right)^4} \cdot \sqrt[4]{x} = \left|x^4\right|\sqrt[4]{x} = x^4\sqrt[4]{x}.\]

2) Показатель корня нечётный, поэтому выражение определено при любом \(b\) и знак \(b\) из условия не следует. Разложить подкоренное выражение на множители по свойству корня из произведения нельзя: это свойство требует неотрицательности обоих множителей, а само подкоренное выражение \(-b^{12}\) неположительно, поэтому неположительным окажется и один из множителей. Воспользуемся другим приёмом: чтобы доказать равенство \(\sqrt[5]{u} = v\), достаточно показать, что \(v^5 = u\). Возведём число \(-b^2\sqrt[5]{b^2}\) в пятую степень: \[\left(-b^2\sqrt[5]{b^2}\right)^5 = -b^{10} \cdot \left(\sqrt[5]{b^2}\right)^5 = -b^{10} \cdot b^2 = -b^{12}.\]

Значит, \(\sqrt[5]{-b^{12}} = -b^2\sqrt[5]{b^2}\).

3) Корень чётной степени существует, только если \(x^{18}y^7 \geqslant 0\). Множитель \(x^{18}\) неотрицателен, поэтому при \(x \ne 0\) отсюда следует \(y^7 \geqslant 0\), то есть \(y \geqslant 0\) (при \(x = 0\) и данное выражение, и полученный ниже ответ равны нулю, так что запись годится и в этом случае). Выделим четвёртые степени: \(x^{18}y^7 = x^{16}y^4 \cdot x^2y^3\), оба множителя неотрицательны. Тогда \[\sqrt[4]{x^{18}y^7} = \sqrt[4]{x^{16}y^4} \cdot \sqrt[4]{x^2y^3} = \left|x^4y\right|\sqrt[4]{x^2y^3} = x^4y\sqrt[4]{x^2y^3},\] поскольку \(x^4 \geqslant 0\) и \(y \geqslant 0\): под модулем стоит неотрицательное число, и в ответе модуль не нужен.

4) Корень чётной степени существует, только если \(-625a^{15} \geqslant 0\), то есть \(a^{15} \leqslant 0\) и \(a \leqslant 0\). Разложим подкоренное выражение на неотрицательные множители: \(-625a^{15} = 625a^{12} \cdot \left(-a^3\right)\), где \(625a^{12} \geqslant 0\) и \(-a^3 \geqslant 0\). Тогда \[\sqrt[4]{-625a^{15}} = \sqrt[4]{\left(5a^3\right)^4} \cdot \sqrt[4]{-a^3} = 5\left|a^3\right|\sqrt[4]{-a^3} = -5a^3\sqrt[4]{-a^3},\] так как \(a^3 \leqslant 0\) и потому \(\left|a^3\right| = -a^3\).

5) Корень чётной степени существует, только если \(m^{10}n^9 \geqslant 0\). Множитель \(m^{10}\) неотрицателен, поэтому при \(m \ne 0\) отсюда следует \(n \geqslant 0\) (при \(m = 0\) обе записи равны нулю). Выделим восьмые степени: \(m^{10}n^9 = m^8n^8 \cdot m^2n\), оба множителя неотрицательны. Тогда \[\sqrt[8]{m^{10}n^9} = \sqrt[8]{(mn)^8} \cdot \sqrt[8]{m^2n} = |mn|\sqrt[8]{m^2n} = -mn\sqrt[8]{m^2n},\] так как по условию \(m \leqslant 0\), а \(n \geqslant 0\), значит, произведение \(mn\) неположительно.

6) Корень чётной степени существует, только если \(-m^{49}n^{20} \geqslant 0\). Множитель \(n^{20}\) неотрицателен, поэтому при \(n \ne 0\) отсюда следует \(-m^{49} \geqslant 0\), то есть \(m \leqslant 0\) (при \(n = 0\) обе записи равны нулю). Выделим шестые степени: \(-m^{49}n^{20} = m^{48}n^{18} \cdot (-m)n^2\), оба множителя неотрицательны. Тогда \[\sqrt[6]{-m^{49}n^{20}} = \sqrt[6]{\left(m^8n^3\right)^6} \cdot \sqrt[6]{-mn^2} = \left|m^8n^3\right|\sqrt[6]{-mn^2} = m^8n^3\sqrt[6]{-mn^2},\] так как \(m^8 \geqslant 0\), а по условию \(n \geqslant 0\) и потому \(n^3 \geqslant 0\): здесь, в отличие от пунктов 4) и 5), под модулем неотрицательное число и минус не появляется.

Ответ: 1) \(x^4\sqrt[4]{x}\); 2) \(-b^2\sqrt[5]{b^2}\); 3) \(x^4y\sqrt[4]{x^2y^3}\); 4) \(-5a^3\sqrt[4]{-a^3}\); 5) \(-mn\sqrt[8]{m^2n}\); 6) \(m^8n^3\sqrt[6]{-mn^2}\).

1) Показатель корня нечётный, поэтому корень существует при любом \(x\) и случаи по знаку \(x\) разбирать не нужно; минус наружу не выносится. Множители могут быть разных знаков, поэтому свойство корня из произведения здесь неприменимо, и воспользуемся другим приёмом: чтобы доказать равенство \(\sqrt[3]{u} = v\), достаточно показать, что \(v^3 = u\). Возведём данное выражение в куб: \[\left(2x\sqrt[3]{3x^2}\right)^3 = 8x^3 \cdot \left(\sqrt[3]{3x^2}\right)^3 = 8x^3 \cdot 3x^2 = 24x^5.\]

Значит, \(2x\sqrt[3]{3x^2} = \sqrt[3]{24x^5}\).

2) Корень чётной степени существует, только если \(-a \geqslant 0\), то есть \(a \leqslant 0\). Множитель неположителен, поэтому под корень он вносится с минусом перед корнем: \(a = -\sqrt{a^2}\). Тогда \[a\sqrt{-a} = -\sqrt{a^2} \cdot \sqrt{-a} = -\sqrt{a^2 \cdot (-a)} = -\sqrt{-a^3}.\]

3) Корень чётной степени существует, только если \(a^3 \geqslant 0\), то есть \(a \geqslant 0\). Множитель неотрицателен, поэтому \(a = \sqrt[4]{a^4}\), и \[a\sqrt[4]{a^3} = \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{a^3} = \sqrt[4]{a^4 \cdot a^3} = \sqrt[4]{a^7}.\]

4) Знак множителя задан условием: \(m \leqslant 0\), поэтому \(m = -\sqrt[6]{m^6}\) и \[m\sqrt[6]{m^4} = -\sqrt[6]{m^6} \cdot \sqrt[6]{m^4} = -\sqrt[6]{m^6 \cdot m^4} = -\sqrt[6]{m^{10}}.\]

5) По условию \(a < 0\) и \(b > 0\), поэтому \(a^5 < 0\), \(b^3 > 0\) и множитель \(a^5b^3\) отрицателен: под корень чётной степени он вносится с минусом перед корнем, \(a^5b^3 = -\sqrt[8]{\left(a^5b^3\right)^8} = -\sqrt[8]{a^{40}b^{24}}\). При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \[a^5b^3\sqrt[8]{a^6b^{10}} = -\sqrt[8]{a^{40}b^{24}} \cdot \sqrt[8]{a^6b^{10}} = -\sqrt[8]{a^{40}b^{24} \cdot a^6b^{10}} = -\sqrt[8]{a^{46}b^{34}}.\]

Ответ: 1) \(\sqrt[3]{24x^5}\); 2) \(-\sqrt{-a^3}\); 3) \(\sqrt[4]{a^7}\); 4) \(-\sqrt[6]{m^{10}}\); 5) \(-\sqrt[8]{a^{46}b^{34}}\).

Корни чётной степени требуют \(a \geqslant 0\). Знаменатель \(\sqrt[4]{a} + 2\) положителен при любом таком \(a\), знаменатель \(\sqrt[4]{a} - 2\) обращается в нуль при \(a = 16\), при том же значении обращается в нуль знаменатель \(4 - \sqrt{a}\). Кроме того, делитель \(\dfrac{12\sqrt{a}}{4 - \sqrt{a}}\) равен нулю при \(a = 0\), а делить на нуль нельзя. Значит, область допустимых значений: \(a > 0\), \(a \ne 16\).

Приведём дроби в скобках к общему знаменателю \(\left(\sqrt[4]{a} + 2\right)\left(\sqrt[4]{a} - 2\right) = \left(\sqrt[4]{a}\right)^2 - 4 = \sqrt{a} - 4\): \[\begin{aligned} &\dfrac{\sqrt[4]{a} - 2}{\sqrt[4]{a} + 2} - \dfrac{\sqrt[4]{a} + 2}{\sqrt[4]{a} - 2} = \dfrac{\left(\sqrt[4]{a} - 2\right)^2 - \left(\sqrt[4]{a} + 2\right)^2}{\sqrt{a} - 4} = {} \\ &= \dfrac{\left(\sqrt{a} - 4\sqrt[4]{a} + 4\right) - \left(\sqrt{a} + 4\sqrt[4]{a} + 4\right)}{\sqrt{a} - 4} = \dfrac{-8\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a} - 4}. \end{aligned}\]

Деление заменим умножением на дробь, обратную делителю, и учтём, что \(4 - \sqrt{a} = -\left(\sqrt{a} - 4\right)\) — минус от этой перестановки терять нельзя: \[\dfrac{-8\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a} - 4} : \dfrac{12\sqrt{a}}{4 - \sqrt{a}} = \dfrac{-8\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a} - 4} \cdot \dfrac{-\left(\sqrt{a} - 4\right)}{12\sqrt{a}} = \dfrac{8\sqrt[4]{a}}{12\sqrt{a}} = \dfrac{2\sqrt[4]{a}}{3\sqrt{a}}.\]

Так как \(a > 0\), верно равенство \(\sqrt{a} = \left(\sqrt[4]{a}\right)^2\), поэтому дробь сокращается на \(\sqrt[4]{a}\): \[\dfrac{2\sqrt[4]{a}}{3\left(\sqrt[4]{a}\right)^2} = \dfrac{2}{3\sqrt[4]{a}}.\]

Ответ: \(\dfrac{2}{3\sqrt[4]{a}}\) при \(a > 0\), \(a \ne 16\).