Самостоятельная работа 17 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка
1) Корень больше корня — равносильная система из того же неравенства между подкоренными выражениями и неотрицательности меньшего из них:
\[\begin{cases} 3 - 2x > x + 1, \\ x + 1 \geqslant 0; \end{cases} \quad \begin{cases} 3x < 2, \\ x \geqslant -1; \end{cases} \quad -1 \leqslant x < \frac{2}{3}.\]
Левый конец промежутка входит в множество решений: при \(x = -1\) получаем верное неравенство \(\sqrt{5} > 0\).
2) Корень не больше выражения — равносильная система из трёх условий:
\[\begin{cases} 2x^2 - 3x - 5 \leqslant (x - 1)^2, \\ x - 1 \geqslant 0, \\ 2x^2 - 3x - 5 \geqslant 0. \end{cases}\]
Первое: \(2x^2 - 3x - 5 \leqslant x^2 - 2x + 1\); \(x^2 - x - 6 \leqslant 0\); корни трёхчлена равны \(-2\) и \(3\), ветви параболы направлены вверх, поэтому \(-2 \leqslant x \leqslant 3\).
Второе: \(x \geqslant 1\).
Третье: корни трёхчлена \(2x^2 - 3x - 5\) равны \(-1\) и \(2{,}5\) (так как \(D = 9 + 40 = 49\)), ветви параболы направлены вверх, поэтому \(x \leqslant -1\) или \(x \geqslant 2{,}5\).
Общая часть трёх множеств — промежуток \([2{,}5;\ 3]\). Без третьего условия в ответ попал бы лишний кусок \([1;\ 2{,}5)\), на котором подкоренное выражение отрицательно.
3) Корень больше выражения — равносильная совокупность двух систем.
Первая: \[\begin{cases} x - 6 < 0, \\ x + 24 \geqslant 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x < 6, \\ x \geqslant -24; \end{cases} \quad -24 \leqslant x < 6.\]
Вторая: \[\begin{cases} x - 6 \geqslant 0, \\ x + 24 > (x - 6)^2; \end{cases} \quad \begin{cases} x \geqslant 6, \\ x^2 - 13x + 12 < 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x \geqslant 6, \\ 1 < x < 12; \end{cases} \quad 6 \leqslant x < 12.\]
Объединяя решения систем, получаем: \([-24;\ 6) \cup [6;\ 12) = [-24;\ 12)\).
4) Область определения: \(x + 2 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant -2\); на ней \(\sqrt{x + 2} \geqslant 0\), и делить обе части на радикал нельзя: он может обращаться в нуль. Произведение неположительно в двух случаях.
Первый: \(\sqrt{x + 2} = 0\), то есть \(x = -2\); произведение равно нулю, и неравенство выполняется.
Второй: \(\sqrt{x + 2} > 0\), то есть \(x > -2\); обе части делим на положительное число \(\sqrt{x + 2}\), и неравенство равносильно неравенству \(6 - 7x \leqslant 0\), то есть \(x \geqslant \frac{6}{7}\).
Объединяя решения обоих случаев, получаем: \(\{-2\} \cup \left[\frac{6}{7};\ +\infty\right)\); изолированная точка \(-2\) входит в ответ.
Ответ: 1) \(\left[-1;\ \frac{2}{3}\right)\); 2) \([2{,}5;\ 3]\); 3) \([-24;\ 12)\); 4) \(\{-2\} \cup \left[\frac{6}{7};\ +\infty\right)\).
Область определения: \(x + 3 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant -3\). Буква \(a\) — параметр, поэтому рассмотрим два случая по его знаку.
Если \(a \leqslant 0\), то при каждом \(x \geqslant -3\) произведение \(a\sqrt{x + 3}\) не больше нуля, поэтому неравенство верно на всей области определения: решения — промежуток \([-3;\ +\infty)\).
Если \(a > 0\), то после деления обеих частей на положительное число \(a\) получаем \(\sqrt{x + 3} < \frac{1}{a}\); равносильная система
\[\begin{cases} x + 3 < \frac{1}{a^2}, \\ \frac{1}{a} > 0, \\ x + 3 \geqslant 0. \end{cases}\]
Второе условие при \(a > 0\) выполняется, а первое и третье дают \(-3 \leqslant x < -3 + \frac{1}{a^2}\); промежуток не пуст, так как \(\frac{1}{a^2} > 0\).
Ответ: при \(a \leqslant 0\) — \([-3;\ +\infty)\); при \(a > 0\) — \(\left[-3;\ -3 + \frac{1}{a^2}\right)\).
1) Неравенство вида «корень больше корня» равносильно системе: подкоренные выражения связаны тем же неравенством, а меньшее из них неотрицательно: \[\begin{cases} 3 - 2x > x + 1, \\ x + 1 \geqslant 0; \end{cases} \quad \begin{cases} 3x < 2, \\ x \geqslant -1; \end{cases} \quad -1 \leqslant x < \frac{2}{3}.\]
Левый конец промежутка входит в множество решений: при \(x = -1\) получаем верное неравенство \(\sqrt{5} > 0\).
2) Неравенство вида «корень не больше выражения» равносильно системе из трёх условий: \[\begin{cases} 2x^2 - 3x - 5 \leqslant (x - 1)^2, \\ x - 1 \geqslant 0, \\ 2x^2 - 3x - 5 \geqslant 0. \end{cases}\]
Первое условие: \(2x^2 - 3x - 5 \leqslant x^2 - 2x + 1\); \(x^2 - x - 6 \leqslant 0\). Корни трёхчлена равны \(-2\) и \(3\), ветви параболы направлены вверх, поэтому \(-2 \leqslant x \leqslant 3\).
Второе условие: \(x \geqslant 1\).
Третье условие: корни трёхчлена \(2x^2 - 3x - 5\) равны \(-1\) и \(2{,}5\) (так как \(D = 9 + 40 = 49\)), ветви параболы направлены вверх, поэтому \(x \leqslant -1\) или \(x \geqslant 2{,}5\).
Общая часть трёх множеств — промежуток \([2{,}5;\ 3]\). Без третьего условия в ответ попал бы лишний кусок \([1;\ 2{,}5)\), на котором подкоренное выражение отрицательно.
3) Неравенство вида «корень больше выражения» равносильно совокупности двух систем: в первой правая часть отрицательна и подкоренное выражение неотрицательно, во второй правая часть неотрицательна и подкоренное выражение больше её квадрата.
Первая система: \[\begin{cases} x - 6 < 0, \\ x + 24 \geqslant 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x < 6, \\ x \geqslant -24; \end{cases} \quad -24 \leqslant x < 6.\]
Вторая система: \[\begin{cases} x - 6 \geqslant 0, \\ x + 24 > (x - 6)^2; \end{cases} \quad \begin{cases} x \geqslant 6, \\ x^2 - 13x + 12 < 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x \geqslant 6, \\ 1 < x < 12; \end{cases} \quad 6 \leqslant x < 12.\]
Множество решений неравенства — объединение решений этих систем: \([-24;\ 6) \cup [6;\ 12) = [-24;\ 12)\).
4) Область определения неравенства задаётся условием \(x + 2 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant -2\). На ней \(\sqrt{x + 2} \geqslant 0\), и делить обе части на радикал нельзя: он может обращаться в нуль. Произведение неположительно в двух случаях.
Первый случай: \(\sqrt{x + 2} = 0\), то есть \(x = -2\). Тогда произведение равно нулю, и неравенство выполняется.
Второй случай: \(\sqrt{x + 2} > 0\), то есть \(x > -2\). Тогда обе части можно разделить на положительное число \(\sqrt{x + 2}\), и неравенство равносильно неравенству \(6 - 7x \leqslant 0\), то есть \(x \geqslant \frac{6}{7}\).
Множество решений — объединение полученных множеств: \(\{-2\} \cup \left[\frac{6}{7};\ +\infty\right)\); изолированная точка \(-2\) входит в ответ.
Ответ: 1) \(\left[-1;\ \frac{2}{3}\right)\); 2) \([2{,}5;\ 3]\); 3) \([-24;\ 12)\); 4) \(\{-2\} \cup \left[\frac{6}{7};\ +\infty\right)\).
Область определения неравенства задаётся условием \(x + 3 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant -3\): вне этого множества левая часть смысла не имеет. Решения ищем только среди таких значений переменной. Буква \(a\) — параметр, поэтому рассмотрим два случая по его знаку.
Если \(a \leqslant 0\), то при каждом \(x \geqslant -3\) произведение \(a\sqrt{x + 3}\) не больше нуля (при \(a = 0\) оно равно нулю, при отрицательном значении параметра — отрицательно или равно нулю). Значит, неравенство \(a\sqrt{x + 3} < 1\) верно на всей области определения, и решением служит промежуток \([-3;\ +\infty)\).
Если \(a > 0\), то, разделив обе части на положительное число \(a\), получаем равносильное неравенство \(\sqrt{x + 3} < \frac{1}{a}\). Оно равносильно системе \[\begin{cases} x + 3 < \frac{1}{a^2}, \\ \frac{1}{a} > 0, \\ x + 3 \geqslant 0. \end{cases}\]
Второе условие выполняется при каждом положительном значении параметра, поэтому остаются первое и третье: \(-3 \leqslant x < -3 + \frac{1}{a^2}\). Этот промежуток не пуст, так как \(\frac{1}{a^2} > 0\).
Ответ: при \(a \leqslant 0\) — \([-3;\ +\infty)\); при \(a > 0\) — \(\left[-3;\ -3 + \frac{1}{a^2}\right)\).
