Самостоятельная работа 16 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка
1) Область определения: \(x - 5 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 5\).
Замена \(\sqrt[4]{x - 5} = t\), \(t \geqslant 0\); так как \(x - 5 \geqslant 0\), то \(t^2 = \left(\sqrt[4]{x - 5}\right)^{2} = \sqrt[4]{(x - 5)^2} = \sqrt{x - 5}\), и уравнение принимает вид \(t^2 - 8 = 2t\); \(t^2 - 2t - 8 = 0\); \(t = 4\) или \(t = -2\).
Условию \(t \geqslant 0\) удовлетворяет только \(t = 4\), поэтому \(\sqrt[4]{x - 5} = 4\); \(x - 5 = 256\); \(x = 261\).
2) Подкоренные выражения — взаимно обратные дроби, поэтому каждое из них должно быть положительным: \(\frac{x + 4}{x - 4} > 0\), то есть \((x + 4)(x - 4) > 0\); область определения — множество \(x < -4\) или \(x > 4\).
Замена \(\sqrt{\frac{x + 4}{x - 4}} = t\), \(t > 0\); на области определения оба подкоренных выражения неотрицательны, поэтому \(\sqrt{\frac{x + 4}{x - 4}} \cdot \sqrt{\frac{x - 4}{x + 4}} = \sqrt{1} = 1\), то есть \(\sqrt{\frac{x - 4}{x + 4}} = \frac{1}{t}\).
Уравнение принимает вид \(t - \frac{2}{t} = \frac{7}{3}\); умножив обе части на положительное число \(3t\), получаем \(3t^2 - 7t - 6 = 0\); \(D = 49 + 72 = 121\); \(t = 3\) или \(t = -\frac{2}{3}\).
Условию \(t > 0\) удовлетворяет только \(t = 3\), поэтому \(\sqrt{\frac{x + 4}{x - 4}} = 3\); \(\frac{x + 4}{x - 4} = 9\); \(x + 4 = 9x - 36\); \(8x = 40\); \(x = 5\). Число \(5\) больше \(4\), значит, области определения принадлежит.
3) Область определения: \(x^2 + 5x + 1 \geqslant 0\); корни трёхчлена: \(D = 25 - 4 = 21\), \(x = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}\); ветви параболы направлены вверх, поэтому это множество \(x \leqslant \frac{-5 - \sqrt{21}}{2}\) или \(x \geqslant \frac{-5 + \sqrt{21}}{2}\).
Замена \(\sqrt{x^2 + 5x + 1} = t\), \(t \geqslant 0\); тогда \(x^2 + 5x = t^2 - 1\) и \(3x^2 + 15x = 3t^2 - 3\), поэтому уравнение принимает вид \(3t^2 - 3 + 2t = 2\); \(3t^2 + 2t - 5 = 0\); \(D = 4 + 60 = 64\); \(t = 1\) или \(t = -\frac{5}{3}\).
Условию \(t \geqslant 0\) удовлетворяет только \(t = 1\), поэтому \(\sqrt{x^2 + 5x + 1} = 1\); \(x^2 + 5x + 1 = 1\); \(x^2 + 5x = 0\); \(x = 0\) или \(x = -5\) — оба числа области определения принадлежат: при каждом из них подкоренное выражение равно \(1\).
4) Замена \(\sqrt[3]{x} = a\), \(\sqrt[3]{y} = b\); условий неотрицательности здесь нет, так как корень нечётной степени определён при любом подкоренном выражении. Тогда \(x = a^3\), \(y = b^3\) и \((ab)^3 = a^3b^3 = xy = -27\), откуда \(ab = -3\) (кубический корень из числа \(-27\) единственный).
Система принимает вид \(\begin{cases} a + b = -2, \\ ab = -3. \end{cases}\) Числа \(a\) и \(b\) — корни уравнения \(z^2 + 2z - 3 = 0\), то есть числа \(1\) и \(-3\), значит, \(\begin{cases} a = 1, \\ b = -3 \end{cases}\) или \(\begin{cases} a = -3, \\ b = 1. \end{cases}\)
Возврат по формулам \(x = a^3\), \(y = b^3\): в первом случае \(x = 1\), \(y = -27\); во втором \(x = -27\), \(y = 1\).
5) Замена \(\sqrt[3]{x + 10} = a\), \(\sqrt[3]{6 - x} = b\); тогда \(a + b = 4\) и \(a^3 + b^3 = (x + 10) + (6 - x) = 16\).
Так как \(a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)\), то \(16 = 64 - 3ab \cdot 4\); \(12ab = 48\); \(ab = 4\).
Числа \(a\) и \(b\) — корни уравнения \(z^2 - 4z + 4 = 0\), то есть \((z - 2)^2 = 0\) и \(z = 2\) — корень двукратный, поэтому \(a = b = 2\), и из равенства \(\sqrt[3]{x + 10} = 2\) получаем \(x + 10 = 8\); \(x = -2\) (второе равенство \(\sqrt[3]{6 - x} = 2\) даёт то же число).
Возведение суммы в куб опирается на само уравнение, поэтому полученное число нужно проверить.
Проверка: при \(x = -2\) имеем \(\sqrt[3]{-2 + 10} + \sqrt[3]{6 + 2} = \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{8} = 2 + 2 = 4\) — верное равенство, число \(-2\) является корнем.
Ответ: 1) \(261\); 2) \(5\); 3) \(-5\); \(0\); 4) \((1;\ -27)\), \((-27;\ 1)\); 5) \(-2\).
1) Область определения уравнения задаётся условием \(x - 5 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 5\).
Пусть \(\sqrt[4]{x - 5} = t\), где \(t \geqslant 0\). Так как \(x - 5 \geqslant 0\), то \(t^2 = \left(\sqrt[4]{x - 5}\right)^{2} = \sqrt[4]{(x - 5)^2} = \sqrt{x - 5}\), и уравнение принимает вид \(t^2 - 8 = 2t\). Отсюда \(t^2 - 2t - 8 = 0\); \(t = 4\) или \(t = -2\).
Так как \(t \geqslant 0\), то подходит только \(t = 4\). Следовательно, данное уравнение равносильно такому: \(\sqrt[4]{x - 5} = 4\). Отсюда \(x - 5 = 256\); \(x = 261\).
2) Подкоренные выражения — взаимно обратные дроби, поэтому каждое из них должно быть положительным: \(\frac{x + 4}{x - 4} > 0\). Дробь положительна там, где произведение \((x + 4)(x - 4)\) положительно, то есть при \(x < -4\) или при \(x > 4\); это и есть область определения уравнения.
Пусть \(\sqrt{\frac{x + 4}{x - 4}} = t\), где \(t > 0\). На области определения оба подкоренных выражения неотрицательны, поэтому по свойству корня из произведения \(\sqrt{\frac{x + 4}{x - 4}} \cdot \sqrt{\frac{x - 4}{x + 4}} = \sqrt{1} = 1\), то есть \(\sqrt{\frac{x - 4}{x + 4}} = \frac{1}{t}\).
Уравнение принимает вид \(t - \frac{2}{t} = \frac{7}{3}\). Умножив обе части на положительное число \(3t\), получаем \(3t^2 - 7t - 6 = 0\); \(D = 49 + 72 = 121\); \(t = 3\) или \(t = -\frac{2}{3}\).
Условию \(t > 0\) удовлетворяет только \(t = 3\), поэтому данное уравнение равносильно такому: \(\sqrt{\frac{x + 4}{x - 4}} = 3\). Отсюда \(\frac{x + 4}{x - 4} = 9\); \(x + 4 = 9x - 36\); \(8x = 40\); \(x = 5\). Число \(5\) больше \(4\), значит, оно принадлежит области определения.
3) Область определения уравнения задаётся условием \(x^2 + 5x + 1 \geqslant 0\). Корни трёхчлена: \(D = 25 - 4 = 21\), \(x = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}\). Ветви параболы направлены вверх, поэтому область определения — множество \(x \leqslant \frac{-5 - \sqrt{21}}{2}\) или \(x \geqslant \frac{-5 + \sqrt{21}}{2}\).
Пусть \(\sqrt{x^2 + 5x + 1} = t\), где \(t \geqslant 0\). Тогда \(x^2 + 5x = t^2 - 1\), поэтому \(3x^2 + 15x = 3t^2 - 3\), и уравнение принимает вид \(3t^2 - 3 + 2t = 2\). Отсюда \(3t^2 + 2t - 5 = 0\); \(D = 4 + 60 = 64\); \(t = 1\) или \(t = -\frac{5}{3}\).
Так как \(t \geqslant 0\), то подходит только \(t = 1\). Следовательно, данное уравнение равносильно такому: \(\sqrt{x^2 + 5x + 1} = 1\). Отсюда \(x^2 + 5x + 1 = 1\); \(x^2 + 5x = 0\); \(x = 0\) или \(x = -5\). Оба числа принадлежат области определения: при каждом из них подкоренное выражение равно \(1\).
4) Пусть \(\sqrt[3]{x} = a\), \(\sqrt[3]{y} = b\); условий неотрицательности здесь нет, так как корень нечётной степени определён при любом значении подкоренного выражения. Тогда \(x = a^3\), \(y = b^3\) и \((ab)^3 = a^3b^3 = xy = -27\), откуда \(ab = -3\) (кубический корень из числа \(-27\) единственный).
Система принимает вид \(\begin{cases} a + b = -2, \\ ab = -3. \end{cases}\)
Числа \(a\) и \(b\) — корни уравнения \(z^2 + 2z - 3 = 0\), то есть числа \(1\) и \(-3\). Значит, \(\begin{cases} a = 1, \\ b = -3 \end{cases}\) или \(\begin{cases} a = -3, \\ b = 1. \end{cases}\)
Возвращаясь к переменным \(x\) и \(y\), получаем \(x = a^3\) и \(y = b^3\): в первом случае \(x = 1\), \(y = -27\); во втором случае \(x = -27\), \(y = 1\).
5) Пусть \(\sqrt[3]{x + 10} = a\), \(\sqrt[3]{6 - x} = b\). Тогда \(a + b = 4\) и \(a^3 + b^3 = (x + 10) + (6 - x) = 16\).
Так как \(a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)\), то \(16 = 64 - 3ab \cdot 4\); \(12ab = 48\); \(ab = 4\).
Числа \(a\) и \(b\) — корни уравнения \(z^2 - 4z + 4 = 0\), то есть \((z - 2)^2 = 0\) и \(z = 2\) — корень двукратный. Поэтому \(a = b = 2\), и из равенства \(\sqrt[3]{x + 10} = 2\) получаем \(x + 10 = 8\); \(x = -2\) (второе равенство \(\sqrt[3]{6 - x} = 2\) даёт то же число).
Возведение суммы в куб опирается на само уравнение, поэтому полученное число нужно проверить.
Проверка: при \(x = -2\) имеем \(\sqrt[3]{-2 + 10} + \sqrt[3]{6 + 2} = \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{8} = 2 + 2 = 4\) — верное равенство, число \(-2\) является корнем.
Ответ: 1) \(261\); 2) \(5\); 3) \(-5\); \(0\); 4) \((1;\ -27)\), \((-27;\ 1)\); 5) \(-2\).
