Самостоятельная работа 18 Вариант 2, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Так как \(\pi\) рад \(= 180^\circ\), то \(1^\circ = \frac{\pi}{180}\) рад. Значит, чтобы найти радианную меру угла, его градусную меру умножают на \(\frac{\pi}{180}\). При записи радианной меры обозначение «рад» опускают.

1) \[12^\circ = 12 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{12\pi}{180} = \frac{\pi}{15}.\]

2) \[330^\circ = 330 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{330\pi}{180} = \frac{11\pi}{6}.\]

Ответ: 1) \(\frac{\pi}{15}\); 2) \(\frac{11\pi}{6}\).

Так как \(\pi\) рад \(= 180^\circ\), то градусную меру угла получают из радианной, заменив число \(\pi\) на \(180^\circ\).

1) \[\frac{\pi}{20} = \frac{180^\circ}{20} = 9^\circ.\]

2) Радианная мера записана смешанным числом, и \(1\frac{2}{3}\pi = \frac{5}{3}\pi\), поэтому \[1\frac{2}{3}\pi = \frac{5}{3}\pi = \frac{5 \cdot 180^\circ}{3} = 5 \cdot 60^\circ = 300^\circ.\]

Ответ: 1) \(9^\circ\); 2) \(300^\circ\).

При повороте точки \(P_0(1;\ 0)\) против часовой стрелки на угол \(\frac{\pi}{2}\) она попадает в точку \((0;\ 1)\), на угол \(\pi\) — в точку \((-1;\ 0)\), на угол \(\frac{3\pi}{2}\) — в точку \((0;\ -1)\). Эти четыре точки делят единичную окружность на четыре дуги, каждая из которых лежит в своей координатной четверти. Кроме того, углы поворота, отличающиеся на \(2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), дают одну и ту же точку.

1) Так как \(270^\circ < 283^\circ < 360^\circ\), при повороте на угол \(283^\circ\) точка прошла дальше точки \((0;\ -1)\), но не вернулась в точку \((1;\ 0)\). Значит, она лежит в четвёртой координатной четверти.

2) Числители дробей \(\frac{\pi}{9}\) и \(\frac{\pi}{2}\) одинаковы, а знаменатель \(9\) больше знаменателя \(2\), поэтому \(0 < \frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{2}\). При повороте на такой угол точка не дошла до точки \((0;\ 1)\), значит, она лежит в первой координатной четверти.

3) Углы \(-\frac{4\pi}{3}\) и \(-\frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{2\pi}{3}\) отличаются на полный оборот, поэтому дают одну и ту же точку. Так как \(\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi\), точка лежит во второй координатной четверти.

4) Здесь угол задан числом, то есть его радианная мера равна \(-4\). Так как \(\pi \approx 3{,}14\) и \(\frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71\), то \(\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}\), откуда \(-\frac{3\pi}{2} < -4 < -\pi\). Угол отрицателен, поэтому поворот идёт по часовой стрелке: при повороте на угол \(-\pi\) точка \(P_0\) попадает в точку \((-1;\ 0)\), а на угол \(-\frac{3\pi}{2}\) — в точку \((0;\ 1)\). Точка прошла дальше точки \((-1;\ 0)\), но не дошла до точки \((0;\ 1)\), значит, она лежит во второй координатной четверти.

Ответ: 1) в четвёртой координатной четверти; 2) в первой координатной четверти; 3) во второй координатной четверти; 4) во второй координатной четверти.

Точка \(P_0(0;\ -1)\) — нижняя точка единичной окружности; её получают из точки \((1;\ 0)\) поворотом на угол \(-\frac{\pi}{2}\). Поворот в этом задании идёт именно от неё. Поэтому если искомой точке отвечает угол поворота \(\alpha\), отсчитанный от точки \((1;\ 0)\), то от точки \(P_0(0;\ -1)\) до неё поворачивают на угол \(\alpha + \frac{\pi}{2}\), а также на все углы вида \(\alpha + \frac{\pi}{2} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\): углы, отличающиеся на целое число полных оборотов, дают одну и ту же точку.

1) Абсцисса точки \(P_1\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\) положительна, а ордината отрицательна, поэтому она лежит в четвёртой координатной четверти. Опустим из неё перпендикуляр \(P_1N\) на ось абсцисс. В прямоугольном треугольнике \(ONP_1\) гипотенуза \(OP_1 = 1\) — радиус окружности, а катеты \(ON = NP_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}\) равны, значит, треугольник равнобедренный и угол \(NOP_1\) равен \(45^\circ\). Точка лежит ниже оси абсцисс, поэтому ей отвечает угол поворота \(-45^\circ = -\frac{\pi}{4}\), отсчитанный от точки \((1;\ 0)\), и от точки \(P_0(0;\ -1)\) надо повернуть на угол \(-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}\), а также на все углы вида \(\frac{\pi}{4} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).

2) Абсцисса точки \(P_2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\ \frac{1}{2}\right)\) отрицательна, а ордината положительна, поэтому она лежит во второй координатной четверти. Опустим из неё перпендикуляр \(P_2N\) на ось абсцисс. В прямоугольном треугольнике \(ONP_2\) гипотенуза \(OP_2 = 1\), а катет \(NP_2 = \frac{1}{2}\) равен половине гипотенузы, поэтому лежащий против него угол \(NOP_2\) равен \(30^\circ\). Этот угол образован радиусом \(OP_2\) с отрицательной полуосью абсцисс, значит, точке \(P_2\) отвечает угол поворота \(180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\), то есть \(\frac{5\pi}{6}\). От точки \(P_0(0;\ -1)\) надо повернуть на угол \(\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi + 3\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}\), а также на все углы вида \(\frac{4\pi}{3} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).

Ответ: 1) \(\frac{\pi}{4} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); 2) \(\frac{4\pi}{3} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).

1) Углы \(-\frac{\pi}{6} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), отличаются друг от друга на целое число полных оборотов, поэтому все они дают одну и ту же точку \(P\) — ту, которую даёт поворот на угол \(-\frac{\pi}{6} = -30^\circ\). Угол отрицателен, поэтому поворот идёт по часовой стрелке и переводит точку \(P_0(1;\ 0)\) в точку четвёртой координатной четверти. Опустим из \(P\) перпендикуляр \(PN\) на ось абсцисс. В прямоугольном треугольнике \(ONP\) гипотенуза \(OP = 1\) — радиус окружности, угол \(NOP\) равен \(30^\circ\), поэтому \(ON = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(NP = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) (значения синуса и косинуса угла \(30^\circ\) известны из курса геометрии). У точки четвёртой четверти абсцисса положительна, а ордината отрицательна, поэтому \(P\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\ -\frac{1}{2}\right)\).

2) Так как \(\frac{2\pi(k + 3)}{3} = \frac{2\pi k}{3} + 2\pi\), значения \(k\) и \(k + 3\) дают одну и ту же точку. Значит, все точки получаются уже при \(k = 0,\ 1,\ 2\), то есть при углах поворота \(0\), \(\frac{2\pi}{3}\), \(\frac{4\pi}{3}\), или, в градусной записи, \(0^\circ\), \(120^\circ\), \(240^\circ\).

Поворот на угол \(0^\circ\) оставляет точку \(P_0\) на месте, то есть даёт точку \((1;\ 0)\).

Поворот на угол \(120^\circ\) переводит точку \(P_0\) в точку \(Q\) второй координатной четверти. Опустим из \(Q\) перпендикуляр \(QN\) на ось абсцисс: радиус \(OQ\) образует с отрицательной полуосью абсцисс угол \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\), поэтому в прямоугольном треугольнике \(ONQ\) с гипотенузой \(OQ = 1\) катеты равны \(ON = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\) и \(NQ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). У точки второй четверти абсцисса отрицательна, а ордината положительна, поэтому \(Q\left(-\frac{1}{2};\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\).

Поворот на угол \(240^\circ\) даёт точку третьей координатной четверти, и её радиус образует с отрицательной полуосью абсцисс угол \(240^\circ - 180^\circ = 60^\circ\). Модули координат те же, а обе координаты отрицательны, поэтому получаем точку \(\left(-\frac{1}{2};\ -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\).

Все три точки различны: это вершины правильного треугольника, вписанного в единичную окружность.

Ответ: 1) \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\ -\frac{1}{2}\right)\); 2) три точки \((1;\ 0)\), \(\left(-\frac{1}{2};\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\), \(\left(-\frac{1}{2};\ -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\).