Самостоятельная работа 21 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Число \(360^\circ\) является периодом функции \(y = \cos x\), поэтому

\[\cos 390^\circ = \cos(30^\circ + 360^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.\]

2) Главный период функции \(y = \sin x\) равен \(2\pi\), поэтому её периодом является и число \(6\pi\). Так как \(\frac{25\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 6\pi\), то

\[\sin\frac{25\pi}{4} = \sin\left(\frac{\pi}{4} + 6\pi\right) = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

3) Главный период функции \(y = \mathrm{ctg}\,x\) равен \(\pi\), поэтому её периодом является и число \(6\pi\). Так как \(-\frac{35\pi}{6} = \frac{\pi}{6} - 6\pi\), то

\[\mathrm{ctg}\left(-\frac{35\pi}{6}\right) = \mathrm{ctg}\left(\frac{\pi}{6} - 6\pi\right) = \mathrm{ctg}\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}.\]

Ответ: 1) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\); 2) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\); 3) \(\sqrt{3}\).

2. На рисунке 17 изображена часть графика периодической функции, период которой равен \(T\). Постройте график этой функции на промежутке \([-2T;\ 2T]\).

График периодической функции на всей области определения получается из его части, показанной на промежутке длиной в период, параллельными переносами на векторы с координатами \((nT;\ 0)\), \(n \in \mathbf{Z}\).

а) На рисунке показана часть графика на промежутке \((0;\ T]\): левый конец выколот, то есть значение \(2\) функция при \(x = 0\) не принимает, а правый конец промежутка графику принадлежит, причём \(f(T) = 0\). По периодичности \(f(0) = f(T) = 0\).

Промежуток \([-2T;\ 2T]\) разбивается на четыре промежутка длиной в период: \((-2T;\ -T]\), \((-T;\ 0]\), \((0;\ T]\), \((T;\ 2T]\). На каждом из них график — копия показанной части, полученная параллельным переносом на вектор \((nT;\ 0)\).

В каждом из узлов \(x = -2T\), \(-T\), \(0\), \(T\), \(2T\) значение функции равно нулю (залитая точка на оси абсцисс); сразу справа от узла функция равна \(2\), но в самом узле значение \(2\) не принимается (пустой кружок). Вертикальными отрезками концы соседних копий не соединяются: в узлах у функции разрыв.

б) Здесь показана часть графика на отрезке \(\left[-\frac{T}{2};\ \frac{T}{2}\right]\) — это тоже промежуток длиной в период: ломаная из двух отрезков с вершиной в начале координат и концами на одной высоте \(h\). Значения на концах равны, поэтому соседние копии стыкуются без скачка и продолжение оказывается непрерывной ломаной; выколотых точек у неё нет.

Отрезок \([-2T;\ 2T]\) содержит четыре периода. Изломы вниз, в которых значение функции равно нулю, приходятся на точки \(x = nT\), изломы вверх со значением \(h\) — на точки \(x = \frac{T}{2} + nT\), \(n \in \mathbf{Z}\); концы отрезка \([-2T;\ 2T]\) попадают в изломы вниз.

1) \(f(x) = \sin\frac{x}{2}\), \(T = 4\pi\).

Область определения функции \(f\) — множество всех действительных чисел, поэтому вместе с каждым числом \(x\) ей принадлежат и числа \(x - 4\pi\), \(x + 4\pi\).

Число \(2\pi\) — период функции \(y = \sin x\), поэтому для любого \(x\)

\[f(x \pm 4\pi) = \sin\frac{x \pm 4\pi}{2} = \sin\left(\frac{x}{2} \pm 2\pi\right) = \sin\frac{x}{2} = f(x).\]

Значит, \(f(x - 4\pi) = f(x) = f(x + 4\pi)\), и по определению число \(4\pi\) является периодом функции \(f\).

2) \(f(x) = \mathrm{ctg}\,\pi x\), \(T = 2\).

Котангенс определён при \(\pi x \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), поэтому

\[D(f) = \{x \in \mathbf{R} \mid x \ne k,\ k \in \mathbf{Z}\}.\]

Если число \(x\) не целое, то числа \(x - 2\) и \(x + 2\) также не целые. Значит, если \(x \in D(f)\), то \((x - 2) \in D(f)\) и \((x + 2) \in D(f)\).

Число \(\pi\) — период функции \(y = \mathrm{ctg}\,x\), поэтому её периодом является и число \(2\pi\). Тогда для любого \(x \in D(f)\)

\[f(x \pm 2) = \mathrm{ctg}\,\pi(x \pm 2) = \mathrm{ctg}(\pi x \pm 2\pi) = \mathrm{ctg}\,\pi x = f(x).\]

Значит, \(f(x - 2) = f(x) = f(x + 2)\), и число \(2\) является периодом функции \(f\).

Ответ: число \(4\pi\) — период функции \(f(x) = \sin\frac{x}{2}\); число \(2\) — период функции \(f(x) = \mathrm{ctg}\,\pi x\).

Рассмотрим функции \(g(x) = \mathrm{tg}\,4x\) и \(h(x) = \sin\frac{4x}{3}\); данная функция — их сумма. Если найти общий период функций \(g\) и \(h\), то тем самым будет найден период данной функции.

Главный период функции \(y = \mathrm{tg}\,x\) равен \(\pi\), главный период функции \(y = \sin x\) равен \(2\pi\), поэтому

\[T_g = \pi : 4 = \frac{\pi}{4}, \quad T_h = 2\pi : \frac{4}{3} = \frac{3\pi}{2}.\]

Тогда \(\frac{T_g}{T_h} = \frac{\pi}{4} : \frac{3\pi}{2} = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{2}{3\pi} = \frac{1}{6}\) — число рациональное, значит, периоды \(T_g\) и \(T_h\) соизмеримы и функции \(g\) и \(h\) имеют общий период \(T\). Он равен \(6T_g\), или \(T_h\), то есть

\[T = 6 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}.\]

Ответ: \(\frac{3\pi}{2}\).

Рассмотрим два случая.

Если \(a = 0\), то \(f(x) = \mathrm{tg}\,0 = 0\) при всех \(x\), то есть функция \(f\) постоянна. Любое отличное от нуля число является периодом постоянной функции, поэтому число \(\frac{4\pi}{3}\) — период функции \(f\), и значение \(a = 0\) условию удовлетворяет.

Пусть \(a \ne 0\). Главный период функции \(y = \mathrm{tg}\,ax\) равен \(\frac{\pi}{|a|}\), а если у функции есть главный период, то любой её период имеет вид \(n \cdot \frac{\pi}{|a|}\), где \(n\) — целое число, отличное от нуля. Положительные периоды получаются при натуральных \(n\), поэтому число \(\frac{4\pi}{3}\) является периодом функции \(f\) тогда и только тогда, когда при некотором натуральном \(n\) выполняется равенство \(\frac{4\pi}{3} = \frac{\pi n}{|a|}\). Отсюда \(|a| = \frac{3\pi n}{4\pi} = \frac{3n}{4}\), то есть \(a = \pm\frac{3n}{4}\), где \(n\) — натуральное число.

Например, при \(a = \frac34\) главный период функции \(f\) равен \(\pi : \frac34 = \frac{4\pi}{3}\) — это и есть данное число \(T\).

Оба случая вместе дают \(a = \frac{3n}{4}\), где \(n\) — целое число.

Ответ: \(a = \frac{3n}{4}\), \(n \in \mathbf{Z}\).