Самостоятельная работа 18 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Так как \(\pi\) рад \(= 180^\circ\), то \(1^\circ = \frac{\pi}{180}\) рад. Значит, чтобы найти радианную меру угла, его градусную меру умножают на \(\frac{\pi}{180}\). При записи радианной меры обозначение «рад» опускают.

1) \[18^\circ = 18 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{18\pi}{180} = \frac{\pi}{10}.\]

2) \[240^\circ = 240 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{240\pi}{180} = \frac{4\pi}{3}.\]

Ответ: 1) \(\frac{\pi}{10}\); 2) \(\frac{4\pi}{3}\).

Так как \(\pi\) рад \(= 180^\circ\), то градусную меру угла получают из радианной, заменив число \(\pi\) на \(180^\circ\).

1) \[\frac{\pi}{30} = \frac{180^\circ}{30} = 6^\circ.\]

2) Радианная мера записана смешанным числом, и \(1\frac{3}{4}\pi = \frac{7}{4}\pi\), поэтому \[1\frac{3}{4}\pi = \frac{7}{4}\pi = \frac{7 \cdot 180^\circ}{4} = 7 \cdot 45^\circ = 315^\circ.\]

Ответ: 1) \(6^\circ\); 2) \(315^\circ\).

При повороте точки \(P_0(1;\ 0)\) против часовой стрелки на угол \(\frac{\pi}{2}\) она попадает в точку \((0;\ 1)\), на угол \(\pi\) — в точку \((-1;\ 0)\), на угол \(\frac{3\pi}{2}\) — в точку \((0;\ -1)\). Эти четыре точки делят единичную окружность на четыре дуги, каждая из которых лежит в своей координатной четверти. Кроме того, углы поворота, отличающиеся на \(2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), дают одну и ту же точку.

1) Так как \(90^\circ < 138^\circ < 180^\circ\), при повороте на угол \(138^\circ\) точка прошла дальше точки \((0;\ 1)\), но не дошла до точки \((-1;\ 0)\). Значит, она лежит во второй координатной четверти.

2) Числители дробей \(\frac{\pi}{7}\) и \(\frac{\pi}{2}\) одинаковы, а знаменатель \(7\) больше знаменателя \(2\), поэтому \(0 < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2}\). При повороте на такой угол точка не дошла до точки \((0;\ 1)\), значит, она лежит в первой координатной четверти.

3) Углы \(-\frac{11\pi}{6}\) и \(-\frac{11\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi}{6}\) отличаются на полный оборот, поэтому дают одну и ту же точку. Так как \(0 < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}\), точка лежит в первой координатной четверти.

4) Здесь угол задан числом, то есть его радианная мера равна \(-3\). Так как \(\pi \approx 3{,}14\) и \(\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\), то \(\frac{\pi}{2} < 3 < \pi\), откуда \(-\pi < -3 < -\frac{\pi}{2}\). Угол отрицателен, поэтому поворот идёт по часовой стрелке: при повороте на угол \(-\frac{\pi}{2}\) точка \(P_0\) попадает в точку \((0;\ -1)\), а на угол \(-\pi\) — в точку \((-1;\ 0)\). Точка прошла дальше точки \((0;\ -1)\), но не дошла до точки \((-1;\ 0)\), значит, она лежит в третьей координатной четверти.

Ответ: 1) во второй координатной четверти; 2) в первой координатной четверти; 3) в первой координатной четверти; 4) в третьей координатной четверти.

Точка \(P_0(0;\ 1)\) — верхняя точка единичной окружности; её получают из точки \((1;\ 0)\) поворотом на угол \(\frac{\pi}{2}\). Поворот в этом задании идёт именно от неё. Поэтому если искомой точке отвечает угол поворота \(\alpha\), отсчитанный от точки \((1;\ 0)\), то от точки \(P_0(0;\ 1)\) до неё поворачивают на угол \(\alpha - \frac{\pi}{2}\), а также на все углы вида \(\alpha - \frac{\pi}{2} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\): углы, отличающиеся на целое число полных оборотов, дают одну и ту же точку.

1) Обе координаты точки \(P_1\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\) положительны, поэтому она лежит в первой координатной четверти. Опустим из неё перпендикуляр \(P_1N\) на ось абсцисс. В прямоугольном треугольнике \(ONP_1\) гипотенуза \(OP_1 = 1\) — радиус окружности, а катеты \(ON = NP_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}\) равны, значит, треугольник равнобедренный и угол \(NOP_1\) равен \(45^\circ\). Следовательно, точке \(P_1\) отвечает угол поворота \(45^\circ = \frac{\pi}{4}\), отсчитанный от точки \((1;\ 0)\), и от точки \(P_0(0;\ 1)\) надо повернуть на угол \(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}\), а также на все углы вида \(-\frac{\pi}{4} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).

2) Абсцисса точки \(P_2\left(-\frac{1}{2};\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) отрицательна, а ордината положительна, поэтому она лежит во второй координатной четверти. Опустим из неё перпендикуляр \(P_2N\) на ось абсцисс. В прямоугольном треугольнике \(ONP_2\) гипотенуза \(OP_2 = 1\), а катет \(ON = \frac{1}{2}\) равен половине гипотенузы, поэтому лежащий против него угол \(OP_2N\) равен \(30^\circ\), а угол \(NOP_2\) равен \(90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). Этот угол образован радиусом \(OP_2\) с отрицательной полуосью абсцисс, значит, точке \(P_2\) отвечает угол поворота \(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\), то есть \(\frac{2\pi}{3}\). От точки \(P_0(0;\ 1)\) надо повернуть на угол \(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi - 3\pi}{6} = \frac{\pi}{6}\), а также на все углы вида \(\frac{\pi}{6} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).

Ответ: 1) \(-\frac{\pi}{4} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); 2) \(\frac{\pi}{6} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).

1) Углы \(\frac{\pi}{3} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), отличаются друг от друга на целое число полных оборотов, поэтому все они дают одну и ту же точку \(P\) — ту, которую даёт поворот на угол \(\frac{\pi}{3} = 60^\circ\). Этот поворот против часовой стрелки переводит точку \(P_0(1;\ 0)\) в точку первой координатной четверти. Опустим из \(P\) перпендикуляр \(PN\) на ось абсцисс. В прямоугольном треугольнике \(ONP\) гипотенуза \(OP = 1\) — радиус окружности, угол \(NOP\) равен \(60^\circ\), поэтому \(ON = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\) и \(NP = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) (значения синуса и косинуса угла \(60^\circ\) известны из курса геометрии). Обе координаты точки первой четверти положительны, поэтому \(P\left(\frac{1}{2};\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\).

2) Так как \(\frac{\pi(k + 8)}{4} = \frac{\pi k}{4} + 2\pi\), значения \(k\) и \(k + 8\) дают одну и ту же точку. Значит, все точки получаются уже при \(k = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots,\ 7\), то есть при углах поворота \(0\), \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{3\pi}{4}\), \(\pi\), \(\frac{5\pi}{4}\), \(\frac{3\pi}{2}\), \(\frac{7\pi}{4}\), или, в градусной записи, \(0^\circ\), \(45^\circ\), \(90^\circ\), \(135^\circ\), \(180^\circ\), \(225^\circ\), \(270^\circ\), \(315^\circ\).

Повороты на углы \(0^\circ\), \(90^\circ\), \(180^\circ\), \(270^\circ\) переводят точку \(P_0\) в точки \((1;\ 0)\), \((0;\ 1)\), \((-1;\ 0)\), \((0;\ -1)\).

Каждый из углов \(45^\circ\), \(135^\circ\), \(225^\circ\), \(315^\circ\) отличается от ближайшего к нему из углов \(0^\circ\), \(90^\circ\), \(180^\circ\), \(270^\circ\) ровно на \(45^\circ\), поэтому отвечающие им точки лежат на биссектрисах первой, второй, третьей и четвёртой четвертей. Опустив из такой точки перпендикуляр на ось абсцисс, получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой \(1\) и острым углом \(45^\circ\) при вершине \(O\); его катеты равны \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Значит, у каждой из этих четырёх точек модули обеих координат равны \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), а знаки координат определяются четвертью: \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\), \(\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\), \(\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\), \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\).

Все восемь точек различны: это вершины правильного восьмиугольника, вписанного в единичную окружность.

Ответ: 1) \(\left(\frac{1}{2};\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\); 2) восемь точек \((1;\ 0)\), \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\), \((0;\ 1)\), \(\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\), \((-1;\ 0)\), \(\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\), \((0;\ -1)\), \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\).