Самостоятельная работа 12 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Оба подкоренных числа неотрицательны, поэтому произведение корней одной степени равно корню из произведения: \[\sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[4]{3} = \sqrt[4]{27 \cdot 3} = \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3.\]

2) При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \[\begin{aligned} &\sqrt[5]{3^4 \cdot 7^2} \cdot \sqrt[5]{3^{11} \cdot 7^3} = \sqrt[5]{3^4 \cdot 7^2 \cdot 3^{11} \cdot 7^3} = {} \\ &= \sqrt[5]{3^{15} \cdot 7^5} = \sqrt[5]{\left(3^3\right)^5 \cdot 7^5} = 27 \cdot 7 = 189. \end{aligned}\]

3) Числитель неотрицателен, знаменатель положителен, поэтому частное корней одной степени равно корню из частного. Дробь под корнем сократим на \(5\) — тогда станет видна четвёртая степень: \[\begin{aligned} &\dfrac{\sqrt[4]{405}}{\sqrt[4]{80}} = \sqrt[4]{\dfrac{405}{80}} = \sqrt[4]{\dfrac{81}{16}} = {} \\ &= \dfrac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}} = \dfrac{\sqrt[4]{3^4}}{\sqrt[4]{2^4}} = \dfrac{3}{2}. \end{aligned}\]

Ответ: 1) \(3\); 2) \(189\); 3) \(\dfrac{3}{2}\).

1) Внутренний корень чётной степени существует только при \(m \geqslant 0\); при таком \(m\) значение \(\sqrt[6]{m}\) неотрицательно и внешний корень существует. При неотрицательном подкоренном числе корень из корня равен корню, показатель которого — произведение показателей: \[\sqrt[7]{\sqrt[6]{m}} = \sqrt[7 \cdot 6]{m} = \sqrt[42]{m}.\]

2) Показатель степени чётный, поэтому \(b^{18} \geqslant 0\) и выражение определено при любом значении \(b\). Представим подкоренное выражение девятой степенью неотрицательного числа: \(b^{18} = \left(b^2\right)^9\). Основание \(b^2\) неотрицательно, поэтому показатель корня и показатель степени можно сократить на \(9\): \[\sqrt[27]{b^{18}} = \sqrt[27]{\left(b^2\right)^9} = \sqrt[3]{b^2}.\]

3) Показатель степени чётный, поэтому \(c^{10} \geqslant 0\) и выражение определено при любом значении \(c\). Показатель \(10\) на показатель корня \(22\) нацело не делится, поэтому множитель из-под корня не выносится; зато чётную степень можно записать через модуль основания: \(c^{10} = |c|^{10}\), а число \(|c|\) неотрицательно. Тогда \(|c|^{10} = \left(|c|^5\right)^2\), и показатели сокращаются на \(2\): \[\sqrt[22]{c^{10}} = \sqrt[22]{|c|^{10}} = \sqrt[22]{\left(|c|^5\right)^2} = \sqrt[11]{|c|^5}.\]

Модуль здесь обязателен: корень чётной степени неотрицателен, а запись «\(\sqrt[11]{c^5}\)» при \(c < 0\) давала бы отрицательное число.

4) Оба показателя нечётные, множители под корнями положительны. Внесём множитель \(3\) под внутренний корень: \(3 = \sqrt[3]{27}\), поэтому \(3\sqrt[3]{7} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{7} = \sqrt[3]{189}\). Тогда \[\sqrt[5]{3\sqrt[3]{7}} = \sqrt[5]{\sqrt[3]{189}} = \sqrt[15]{189}.\]

5) Внутренний корень нечётной степени существует при любом значении \(a\), а подкоренное выражение внешнего корня неотрицательно тоже при любом \(a\): при \(a > 0\) оба множителя положительны, при \(a < 0\) оба отрицательны, при \(a = 0\) произведение равно нулю. Значит, знак \(a\) из условия не следует. Рассмотрим два случая.

Первый случай: \(a \geqslant 0\). Тогда \(a = \sqrt[5]{a^5}\) и \[\sqrt[12]{a\sqrt[5]{a^7}} = \sqrt[12]{\sqrt[5]{a^5} \cdot \sqrt[5]{a^7}} = \sqrt[12]{\sqrt[5]{a^{12}}} = \sqrt[60]{a^{12}} = \sqrt[5]{a}.\]

Второй случай: \(a < 0\). Тогда \(-a > 0\), причём \(a = -\sqrt[5]{(-a)^5}\) и \(\sqrt[5]{a^7} = -\sqrt[5]{(-a)^7}\), поэтому произведение двух отрицательных множителей даёт \[\sqrt[12]{a\sqrt[5]{a^7}} = \sqrt[12]{\sqrt[5]{(-a)^5} \cdot \sqrt[5]{(-a)^7}} = \sqrt[12]{\sqrt[5]{(-a)^{12}}} = \sqrt[60]{(-a)^{12}} = \sqrt[5]{-a}.\]

В первом случае получилось \(\sqrt[5]{a}\), во втором — \(\sqrt[5]{-a}\), то есть в обоих случаях \(\sqrt[5]{|a|}\).

Ответ: 1) \(\sqrt[42]{m}\); 2) \(\sqrt[3]{b^2}\); 3) \(\sqrt[11]{|c|^5}\); 4) \(\sqrt[15]{189}\); 5) \(\sqrt[5]{|a|}\).

1) Выделим под корнем куб: \(56 = 8 \cdot 7\), оба множителя положительны, поэтому \[\sqrt[3]{56} = \sqrt[3]{8 \cdot 7} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{7} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{7} = 2\sqrt[3]{7}.\]

2) Из-под корня четвёртой степени выносится четвёртая степень, поэтому под корнем выделяем \(16 = 2^4\): \[\sqrt[4]{112} = \sqrt[4]{16 \cdot 7} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{7} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{7} = 2\sqrt[4]{7}.\]

Ответ: 1) \(2\sqrt[3]{7}\); 2) \(2\sqrt[4]{7}\).

1) Показатель корня нечётный, поэтому множитель вносится под корень целиком, вместе со знаком. Так как \(5 = \sqrt[3]{125}\), получаем \[-5\sqrt[3]{2} = -\sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{2} = -\sqrt[3]{125 \cdot 2} = -\sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{-250};\] последний переход — по свойству корня нечётной степени: \(\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}\).

2) Показатель корня чётный, а корня чётной степени из отрицательного числа не существует, поэтому минус обязан остаться перед корнем. Так как \(10 = \sqrt[4]{10\,000}\), получаем \[-10\sqrt[4]{0{,}123} = -\sqrt[4]{10\,000} \cdot \sqrt[4]{0{,}123} = -\sqrt[4]{10\,000 \cdot 0{,}123} = -\sqrt[4]{1230}.\]

Ответ: 1) \(\sqrt[3]{-250}\); 2) \(-\sqrt[4]{1230}\).

1) Корень \(\sqrt[10]{t}\) чётной степени, поэтому область допустимых значений задаётся условием \(t \geqslant 0\). Знаменатель \(\sqrt[10]{t} + 4 \geqslant 4 > 0\) в нуль не обращается, выколотых точек нет.

Так как \(t \geqslant 0\), верно равенство \(\left(\sqrt[10]{t}\right)^2 = \sqrt[10]{t^2} = \sqrt[5]{t}\), и числитель раскладывается на множители как разность квадратов: \[\dfrac{\sqrt[5]{t} - 16}{\sqrt[10]{t} + 4} = \dfrac{\left(\sqrt[10]{t}\right)^2 - 4^2}{\sqrt[10]{t} + 4} = \dfrac{\left(\sqrt[10]{t} - 4\right)\left(\sqrt[10]{t} + 4\right)}{\sqrt[10]{t} + 4} = \sqrt[10]{t} - 4.\]

2) Все корни нечётной степени, поэтому они существуют при любом значении \(x\); равенства \(\left(\sqrt[5]{x}\right)^k = \sqrt[5]{x^k}\) верны при любом \(x\): при \(x < 0\) положим \(z = -x > 0\), тогда \(\sqrt[5]{x} = -\sqrt[5]{z}\) и \(x^k = (-1)^kz^k\), поэтому и левая, и правая часть равны \((-1)^k\sqrt[5]{z^k}\).

Знаменатель равен \(\left(\sqrt[5]{x}\right)^3 + \left(\sqrt[5]{x}\right)^2 = \left(\sqrt[5]{x}\right)^2\left(\sqrt[5]{x} + 1\right)\) и обращается в нуль при \(\sqrt[5]{x} = 0\) и при \(\sqrt[5]{x} = -1\), то есть при \(x = 0\) и при \(x = -1\). Область допустимых значений — все действительные числа, кроме этих двух: точки \(x = 0\) и \(x = -1\) выколоты.

Числитель равен \(\left(\sqrt[5]{x}\right)^4 + \left(\sqrt[5]{x}\right)^5 = \left(\sqrt[5]{x}\right)^4\left(1 + \sqrt[5]{x}\right)\), поэтому \[\dfrac{\sqrt[5]{x^4} + x}{\sqrt[5]{x^3} + \sqrt[5]{x^2}} = \dfrac{\left(\sqrt[5]{x}\right)^4\left(\sqrt[5]{x} + 1\right)}{\left(\sqrt[5]{x}\right)^2\left(\sqrt[5]{x} + 1\right)} = \left(\sqrt[5]{x}\right)^2 = \sqrt[5]{x^2}.\]

3) Корни \(\sqrt{x}\) и \(\sqrt{3x}\) существуют при \(x \geqslant 0\). Знаменатель при таких значениях не меньше \(3\sqrt{3} > 0\), поэтому в нуль он не обращается и точка \(x = 0\) входит в область допустимых значений.

Знаменатель — сумма кубов: \(x\sqrt{x} = \left(\sqrt{x}\right)^3\) и \(3\sqrt{3} = \left(\sqrt{3}\right)^3\). Числитель — неполный квадрат разности тех же чисел: \(x = \left(\sqrt{x}\right)^2\), \(\sqrt{3x} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{3}\) (оба множителя неотрицательны), \(3 = \left(\sqrt{3}\right)^2\). Значит, \[\dfrac{x - \sqrt{3x} + 3}{x\sqrt{x} + 3\sqrt{3}} = \dfrac{x - \sqrt{3x} + 3}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{3}\right)\left(x - \sqrt{3x} + 3\right)} = \dfrac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{3}}.\]

Ответ: 1) \(\sqrt[10]{t} - 4\) при \(t \geqslant 0\); 2) \(\sqrt[5]{x^2}\) при \(x \ne 0\), \(x \ne -1\); 3) \(\dfrac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{3}}\) при \(x \geqslant 0\).