Самостоятельная работа 15 Вариант 2, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Обе части уравнения \(\sqrt[8]{3x - 1} = \sqrt[8]{x^2 + 8x - 7}\) — арифметические корни одной и той же чётной степени, поэтому на области определения уравнения обе они неотрицательны. Уравнение вида «корень чётной степени равен корню той же степени» равносильно системе, в которую входят равенство подкоренных выражений и условие неотрицательности одного из них; берём то условие, которое решается проще:

\[\begin{cases} x^2 + 8x - 7 = 3x - 1, \\ 3x - 1 \geqslant 0. \end{cases}\]

Отсюда \(\begin{cases} x^2 + 5x - 6 = 0, \\ x \geqslant \frac13; \end{cases}\) \(\begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = 1, \\ x = -6, \end{array}\right. \\ x \geqslant \frac13; \end{cases}\) \(x = 1\). Число \(-6\) условию \(x \geqslant \frac13\) не удовлетворяет и корнем данного уравнения не является.

2) Уравнение \(\sqrt{x + 7} = 5 - x\) имеет вид «квадратный корень равен выражению» и равносильно системе, в которую входят равенство подкоренного выражения квадрату правой части и условие неотрицательности правой части:

\[\begin{cases} x + 7 = (5 - x)^2, \\ 5 - x \geqslant 0. \end{cases}\]

Отсюда \(\begin{cases} x^2 - 11x + 18 = 0, \\ x \leqslant 5; \end{cases}\) \(\begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = 2, \\ x = 9, \end{array}\right. \\ x \leqslant 5; \end{cases}\) \(x = 2\). Число \(9\) условию \(x \leqslant 5\) не удовлетворяет и корнем данного уравнения не является.

3) Область определения уравнения \((x - 4)\sqrt{x^2 - x - 20} = 6x - 24\) задаёт условие \(x^2 - x - 20 \geqslant 0\). Нули трёхчлена \(x^2 - x - 20\) — числа \(-4\) и \(5\), ветви соответствующей параболы направлены вверх, поэтому область определения — множество \((-\infty;\ -4] \cup [5;\ +\infty)\).

Правая часть равна \(6(x - 4)\), поэтому после переноса её в левую часть выносится общий множитель:

\[(x - 4)\left(\sqrt{x^2 - x - 20} - 6\right) = 0.\]

Делить обе части на множитель \(x - 4\) нельзя: он обращается в нуль, и при таком делении корень может быть потерян. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен хотя бы один из множителей, поэтому на области определения уравнение равносильно совокупности

\[\left[\begin{array}{l} x - 4 = 0, \\ \sqrt{x^2 - x - 20} = 6. \end{array}\right.\]

Число \(4\) не удовлетворяет ни условию \(x \leqslant -4\), ни условию \(x \geqslant 5\), то есть в область определения не входит и корнем данного уравнения не является. Правая часть второго уравнения совокупности положительна, поэтому оно равносильно уравнению \(x^2 - x - 20 = 36\); отсюда \(x^2 - x - 56 = 0\); \(x = -7\) или \(x = 8\). Оба числа области определения принадлежат.

4) Область определения уравнения \(\sqrt{x + 6} - \sqrt{x - 2} = 2\) задаёт система \(\begin{cases} x + 6 \geqslant 0, \\ x - 2 \geqslant 0; \end{cases}\) это множество \(M = [2;\ +\infty)\).

Уединим радикал: \(\sqrt{x + 6} = 2 + \sqrt{x - 2}\). На множестве \(M\) обе части последнего уравнения принимают неотрицательные значения, поэтому возведение их в квадрат даёт уравнение, равносильное данному на \(M\):

\[x + 6 = 4 + 4\sqrt{x - 2} + x - 2.\]

Отсюда \(4\sqrt{x - 2} = 4\); \(\sqrt{x - 2} = 1\). Правая часть положительна, поэтому \(x - 2 = 1\); \(x = 3\). Число \(3\) множеству \(M\) принадлежит.

5) Внутренний радикал уравнения \(\sqrt{x - 4 + 4\sqrt{x - 8}} - \sqrt{x - 4 - 4\sqrt{x - 8}} = 2\) определён при \(x \geqslant 8\). При таких \(x\) подкоренные выражения внешних радикалов сворачиваются в квадраты: \(x - 4 + 4\sqrt{x - 8} = (x - 8) + 4\sqrt{x - 8} + 4 = \left(\sqrt{x - 8} + 2\right)^2\), \(x - 4 - 4\sqrt{x - 8} = (x - 8) - 4\sqrt{x - 8} + 4 = \left(\sqrt{x - 8} - 2\right)^2\). Квадраты неотрицательны при всех \(x \geqslant 8\), поэтому область определения уравнения — множество \([8;\ +\infty)\).

Квадратный корень из квадрата равен модулю основания, а \(\sqrt{x - 8} + 2 > 0\), поэтому уравнение принимает вид

\[\sqrt{x - 8} + 2 - \left|\sqrt{x - 8} - 2\right| = 2.\]

Знак выражения \(\sqrt{x - 8} - 2\) на области определения меняется, поэтому рассмотрим два случая.

Если \(8 \leqslant x \leqslant 12\), то \(0 \leqslant \sqrt{x - 8} \leqslant 2\), модуль равен \(2 - \sqrt{x - 8}\), и левая часть равна \(\sqrt{x - 8} + 2 - 2 + \sqrt{x - 8} = 2\sqrt{x - 8}\). Из уравнения \(2\sqrt{x - 8} = 2\) получаем \(\sqrt{x - 8} = 1\); \(x - 8 = 1\); \(x = 9\). Число \(9\) промежутку \([8;\ 12]\) принадлежит.

Если \(x > 12\), то \(\sqrt{x - 8} > 2\), модуль равен \(\sqrt{x - 8} - 2\), и левая часть равна \(\sqrt{x - 8} + 2 - \sqrt{x - 8} + 2 = 4\). На всём промежутке \((12;\ +\infty)\) левая часть постоянна и равна \(4\), а правая равна \(2\), поэтому корней здесь нет.

Ответ: 1) \(1\); 2) \(2\); 3) \(-7\); \(8\); 4) \(3\); 5) \(9\).