Самостоятельная работа 16 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Область определения уравнения \(\sqrt{x + 3} - 3\sqrt[4]{x + 3} + 2 = 0\) задаёт условие \(x + 3 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant -3\).

Пусть \(\sqrt[4]{x + 3} = t\); по определению арифметического корня \(t \geqslant 0\). При \(x + 3 \geqslant 0\) верно равенство \(\left(\sqrt[4]{x + 3}\right)^2 = \sqrt[4]{(x + 3)^2} = \sqrt{x + 3}\), поэтому \(\sqrt{x + 3} = t^2\), и данное уравнение принимает вид \(t^2 - 3t + 2 = 0\). Отсюда \(t = 1\) или \(t = 2\); оба значения неотрицательны, поэтому подходят оба.

Возвращаясь к переменной \(x\), получаем совокупность \(\left[\begin{array}{l} \sqrt[4]{x + 3} = 1, \\ \sqrt[4]{x + 3} = 2; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x + 3 = 1, \\ x + 3 = 16; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = -2, \\ x = 13. \end{array}\right.\) Оба числа области определения принадлежат.

2) Дроби \(\dfrac{2 - x}{x + 4}\) и \(\dfrac{x + 4}{2 - x}\) взаимно обратны, поэтому обе они определены и неотрицательны только тогда, когда обе положительны. Область определения уравнения \(\sqrt{\dfrac{2 - x}{x + 4}} + \sqrt{\dfrac{x + 4}{2 - x}} = 2\) задаёт неравенство \(\dfrac{2 - x}{x + 4} > 0\): числитель и знаменатель одного знака. Из \(2 - x > 0\) и \(x + 4 > 0\) получаем \(-4 < x < 2\), а условия \(2 - x < 0\) и \(x + 4 < 0\) несовместны. Значит, область определения — промежуток \((-4;\ 2)\).

Пусть \(\sqrt{\dfrac{2 - x}{x + 4}} = t\); на области определения подкоренное выражение положительно, поэтому \(t > 0\). Так как \(\dfrac{x + 4}{2 - x} = \dfrac{1}{\frac{2 - x}{x + 4}}\), а корень из частного равен частному корней (числитель неотрицателен, знаменатель положителен), то \(\sqrt{\dfrac{x + 4}{2 - x}} = \dfrac1t\), и уравнение принимает вид \(t + \dfrac1t = 2\). Умножив обе части на положительное число \(t\), получим равносильное уравнение \(t^2 - 2t + 1 = 0\); \((t - 1)^2 = 0\); \(t = 1\). Условию \(t > 0\) это значение удовлетворяет.

Возвращаясь к переменной \(x\), получаем \(\sqrt{\dfrac{2 - x}{x + 4}} = 1\); \(\dfrac{2 - x}{x + 4} = 1\); \(2 - x = x + 4\); \(x = -1\). Число \(-1\) промежутку \((-4;\ 2)\) принадлежит.

3) Подкоренное выражение уравнения \(5x^2 - 20x + 6 - 2\sqrt{x^2 - 4x + 9} = 0\) равно \(x^2 - 4x + 9 = (x - 2)^2 + 5\) и положительно при всех значениях \(x\), поэтому область определения уравнения — множество \(\mathbf{R}\).

Пусть \(\sqrt{x^2 - 4x + 9} = t\), \(t \geqslant 0\). Тогда \(x^2 - 4x + 9 = t^2\), откуда \(x^2 - 4x = t^2 - 9\) и \(5x^2 - 20x = 5t^2 - 45\). Данное уравнение принимает вид \(5t^2 - 45 + 6 - 2t = 0\), то есть

\[5t^2 - 2t - 39 = 0.\]

Дискриминант \(D = 4 + 780 = 784\), \(\sqrt{D} = 28\), поэтому \(t = 3\) или \(t = -2{,}6\). Так как \(t \geqslant 0\), то подходит только \(t = 3\).

Возвращаясь к переменной \(x\), получаем \(\sqrt{x^2 - 4x + 9} = 3\). Правая часть положительна, поэтому \(x^2 - 4x + 9 = 9\); \(x^2 - 4x = 0\); \(x(x - 4) = 0\); \(x = 0\) или \(x = 4\).

4) Пусть \(\sqrt[3]{x} = a\), \(\sqrt[3]{y} = b\). Корень нечётной степени определён при любом значении подкоренного выражения, поэтому условий неотрицательности на числа \(a\) и \(b\) нет.

Из равенств \(x = a^3\) и \(y = b^3\) получаем \(xy = a^3b^3 = (ab)^3\), то есть \((ab)^3 = -27\), откуда \(ab = -3\): куб числа \(ab\) равен \(-27\) только при \(ab = -3\). Записать же \(ab = \sqrt[3]{x}\,\sqrt[3]{y} = \sqrt[3]{xy}\) здесь нельзя: формула корня из произведения верна лишь для неотрицательных множителей, а числа \(x\) и \(y\) имеют разные знаки.

Система принимает вид \(\begin{cases} a + b = 2, \\ ab = -3. \end{cases}\) Числа \(a\) и \(b\) — корни квадратного уравнения \(z^2 - 2z - 3 = 0\), то есть числа \(3\) и \(-1\). Значит, данная система равносильна совокупности двух систем

\[\left[\begin{array}{l} \begin{cases} \sqrt[3]{x} = 3, \\ \sqrt[3]{y} = -1, \end{cases} \\ \begin{cases} \sqrt[3]{x} = -1, \\ \sqrt[3]{y} = 3; \end{cases} \end{array}\right. \qquad \left[\begin{array}{l} \begin{cases} x = 27, \\ y = -1, \end{cases} \\ \begin{cases} x = -1, \\ y = 27. \end{cases} \end{array}\right.\]

5) Пусть \(\sqrt[3]{x - 7} = a\), \(\sqrt[3]{9 - x} = b\). Тогда \(a + b = 2\) и \(a^3 + b^3 = (x - 7) + (9 - x) = 2\).

Так как \(a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)\), получаем \(2 = 8 - 6ab\), откуда \(ab = 1\). Числа \(a\) и \(b\) — корни квадратного уравнения \(z^2 - 2z + 1 = 0\), то есть \((z - 1)^2 = 0\) и \(z = 1\). Значит, \(a = 1\) и \(b = 1\).

Отсюда \(\sqrt[3]{x - 7} = 1\); \(x - 7 = 1\); \(x = 8\); равенство \(\sqrt[3]{9 - x} = 1\) даёт то же значение. При таком переходе могли появиться посторонние корни, поэтому нужна проверка.

Проверка: при \(x = 8\) левая часть равна \(\sqrt[3]{8 - 7} + \sqrt[3]{9 - 8} = 1 + 1 = 2\), что совпадает с правой частью.

Ответ: 1) \(-2\); \(13\); 2) \(-1\); 3) \(0\); \(4\); 4) \((27;\ -1)\), \((-1;\ 27)\); 5) \(8\).