Самостоятельная работа 19 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) \[2\cos 0^\circ + 5\sin 90^\circ - 4\,\mathrm{tg}\,180^\circ = 2 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 4 \cdot 0 = 7.\] Поворотам на углы \(0^\circ\), \(90^\circ\), \(180^\circ\) отвечают точки \((1;\ 0)\), \((0;\ 1)\), \((-1;\ 0)\) единичной окружности, поэтому \(\cos 0^\circ = 1\), \(\sin 90^\circ = 1\), \(\sin 180^\circ = 0\), \(\cos 180^\circ = -1\). Косинус угла \(180^\circ\) отличен от нуля, поэтому тангенс этого угла существует: \(\mathrm{tg}\,180^\circ = \frac{\sin 180^\circ}{\cos 180^\circ} = \frac{0}{-1} = 0\).

2) \[\mathrm{ctg}\,\frac{\pi}{2} + 3\cos\frac{\pi}{2} - 4\sin\frac{3\pi}{2} = 0 + 3 \cdot 0 - 4 \cdot (-1) = 4.\] Поворотам на углы \(\frac{\pi}{2}\) и \(\frac{3\pi}{2}\) отвечают точки \((0;\ 1)\) и \((0;\ -1)\), поэтому \(\cos\frac{\pi}{2} = 0\), \(\sin\frac{\pi}{2} = 1\), \(\sin\frac{3\pi}{2} = -1\). Синус угла \(\frac{\pi}{2}\) отличен от нуля, поэтому котангенс этого угла существует: \(\mathrm{ctg}\,\frac{\pi}{2} = \frac{\cos\frac{\pi}{2}}{\sin\frac{\pi}{2}} = \frac{0}{1} = 0\).

3) \[\begin{aligned} &\frac{\left(\sin\frac{\pi}{4} + \cos\frac{3\pi}{2}\right)\mathrm{ctg}\,\frac{\pi}{6}}{\mathrm{tg}\,\frac{\pi}{3} - \mathrm{tg}\,2\pi} = {} \\ &= \frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + 0\right) \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 0} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2}. \end{aligned}\] Здесь \(\cos\frac{3\pi}{2} = 0\), а поворот на угол \(2\pi\) — полный оборот, он возвращает точку в \(P_0(1;\ 0)\), поэтому \(\sin 2\pi = 0\), \(\cos 2\pi = 1\) и \(\mathrm{tg}\,2\pi = \frac{\sin 2\pi}{\cos 2\pi} = \frac{0}{1} = 0\). Значения \(\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\mathrm{ctg}\,\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}\) и \(\mathrm{tg}\,\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}\) — табличные значения для углов \(45^\circ\), \(30^\circ\) и \(60^\circ\).

Ответ: 1) \(7\); 2) \(4\); 3) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

1) Поскольку \(-1 \leqslant \sin\alpha \leqslant 1\), то \(-3 \leqslant 3\sin\alpha \leqslant 3\). Отсюда \(-2 \leqslant 1 + 3\sin\alpha \leqslant 4\). Наибольшее значение данного выражения равно \(4\); выражение принимает его при \(\sin\alpha = 1\). Наименьшее значение равно \(-2\); выражение принимает его при \(\sin\alpha = -1\). Обе границы достигаются: значения \(1\) и \(-1\) синус принимает — им отвечают точки \((0;\ 1)\) и \((0;\ -1)\) единичной окружности.

2) Из неравенства \(-1 \leqslant \cos\alpha \leqslant 1\) следует, что \(|\cos\alpha| \leqslant 1\), а значит, \(\cos^2\alpha \leqslant 1\); кроме того, квадрат неотрицателен. Поэтому \(0 \leqslant \cos^2\alpha \leqslant 1\), и отсюда \(-5 \leqslant \cos^2\alpha - 5 \leqslant -4\). Наибольшее значение данного выражения равно \(-4\); выражение принимает его при \(\cos\alpha = 1\) и при \(\cos\alpha = -1\). Наименьшее значение равно \(-5\); выражение принимает его при \(\cos\alpha = 0\). Все три значения косинус принимает — им отвечают точки \((1;\ 0)\), \((-1;\ 0)\), \((0;\ 1)\) единичной окружности.

3) Данное выражение определено при \(\cos\alpha \ne 0\), то есть при \(\alpha \ne \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). При таких \(\alpha\) имеем: \(\frac{\cos\alpha(1 - \sin\alpha)}{\cos\alpha} = 1 - \sin\alpha\). Поскольку \(-1 \leqslant \sin\alpha \leqslant 1\), то \(-1 \leqslant -\sin\alpha \leqslant 1\), откуда \(0 \leqslant 1 - \sin\alpha \leqslant 2\).

Наименьшее значение выражения \(1 - \sin\alpha\), равное \(0\), достигается только при \(\sin\alpha = 1\). Но ординату, равную \(1\), имеет единственная точка единичной окружности — точка \((0;\ 1)\), и её абсцисса равна нулю, то есть \(\cos\alpha = 0\) и данное выражение не определено. Следовательно, наименьшего значения не существует.

Наибольшее значение выражения \(1 - \sin\alpha\), равное \(2\), достигается только при \(\sin\alpha = -1\). Но ординату, равную \(-1\), имеет единственная точка \((0;\ -1)\), и снова \(\cos\alpha = 0\). Следовательно, и наибольшего значения не существует.

Ответ: 1) наибольшее значение \(4\), наименьшее значение \(-2\); 2) наибольшее значение \(-4\), наименьшее значение \(-5\); 3) наибольшего и наименьшего значений не существует.

1) Областью значений функции \(y = \mathrm{tg}\,x\) является множество \(\mathbf{R}\), то есть \(\mathrm{tg}\,x\) принимает любое действительное значение. Показатель степени чётный, поэтому \(\mathrm{tg}^6\,x \geqslant 0\). Каждое значение \(t \geqslant 0\) выражение \(\mathrm{tg}^6\,x\) принимает: достаточно взять такое \(x\), при котором \(\mathrm{tg}\,x = \sqrt[6]{t}\). Значит, \(\mathrm{tg}^6\,x\) принимает все значения промежутка \([0;\ +\infty)\), а \(\mathrm{tg}^6\,x - 4\) — все значения промежутка \([-4;\ +\infty)\).

2) Когда \(x\) пробегает всё множество \(\mathbf{R}\), произведение \(5x\) тоже пробегает всё множество \(\mathbf{R}\), поэтому \(\cos 5x\) принимает все значения промежутка \([-1;\ 1]\). Из неравенства \(-1 \leqslant \cos 5x \leqslant 1\) получаем \(3 \leqslant 4 + \cos 5x \leqslant 5\), и знаменатель принимает все значения промежутка \([3;\ 5]\). Чем больше положительный знаменатель, тем меньше дробь с числителем \(1\), поэтому \(\frac{1}{5} \leqslant \frac{1}{4 + \cos 5x} \leqslant \frac{1}{3}\), причём дробь принимает все значения промежутка \(\left[\frac{1}{5};\ \frac{1}{3}\right]\): значению дроби \(v\) отвечает значение знаменателя \(\frac{1}{v}\), лежащее в промежутке \([3;\ 5]\). Следовательно, область значений данного выражения — промежуток \(\left[\frac{1}{5};\ \frac{1}{3}\right]\).

3) Когда \(x\) пробегает всё множество \(\mathbf{R}\), произведение \(4x\) тоже пробегает всё множество \(\mathbf{R}\), поэтому \(\sin 4x\) принимает все значения промежутка \([-1;\ 1]\). Из неравенства \(-1 \leqslant \sin 4x \leqslant 1\) получаем \(-2 \leqslant \sin 4x - 1 \leqslant 0\). Значение \(0\) надо исключить: при \(\sin 4x = 1\) знаменатель обращается в нуль и выражение не определено. Значит, знаменатель принимает все значения промежутка \([-2;\ 0)\).

При \(-2 \leqslant \sin 4x - 1 < 0\) получаем, что \(\frac{1}{\sin 4x - 1} \leqslant -\frac{1}{2}\), причём равенство достигается при \(\sin 4x = -1\). Каждое значение \(v \leqslant -\frac{1}{2}\) дробь принимает: ему отвечает значение знаменателя \(\frac{1}{v}\), лежащее в промежутке \([-2;\ 0)\). Следовательно, область значений данного выражения — промежуток \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{2}\right]\).

Ответ: 1) \([-4;\ +\infty)\); 2) \(\left[\frac{1}{5};\ \frac{1}{3}\right]\); 3) \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{2}\right]\).