Самостоятельная работа 14 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Степень положительного числа с рациональным показателем вычисляют по определению: \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\).

1) \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16^1} = \sqrt{16} = 4\).

2) Отрицательный показатель даёт дробь, а не отрицательное число: \[8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{8^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{4}.\]

3) Смешанную дробь превратим в неправильную: \(11\frac{1}{9} = \frac{100}{9}\), а показатель запишем обыкновенной дробью: \(2{,}5 = \frac{5}{2}\). Так как \(\frac{100}{9} = \left(\frac{10}{3}\right)^{2}\), то по свойству степени степени (основание положительно): \[\left(11\frac{1}{9}\right)^{2{,}5} = \left(\left(\frac{10}{3}\right)^{2}\right)^{\frac{5}{2}} = \left(\frac{10}{3}\right)^{2 \cdot \frac{5}{2}} = \left(\frac{10}{3}\right)^{5} = \frac{100\,000}{243}.\]

Ответ: 1) \(4\); 2) \(\frac{1}{4}\); 3) \(\frac{100\,000}{243}\).

Область определения степени с рациональным показателем зависит от знака показателя: при положительном показателе основание может быть и нулём, при отрицательном — только положительным числом.

1) Показатель \(2{,}8 = \frac{14}{5}\) положителен, поэтому основание может быть любым неотрицательным числом: \(3 - x \geqslant 0\); \(x \leqslant 3\).

Область определения функции \(y = (3 - x)^{2{,}8}\) — промежуток \((-\infty;\ 3]\).

2) Показатель \(-\frac{1}{6}\) отрицателен, поэтому основание должно быть положительным: \(2x^2 - 5x + 2 > 0\).

Найдём корни трёхчлена: \(D = 25 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9\); \(x_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}\), \(x_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2\). Ветви параболы направлены вверх, поэтому трёхчлен положителен вне промежутка между корнями: \(x < \frac{1}{2}\) или \(x > 2\).

Область определения функции \(y = (2x^2 - 5x + 2)^{-\frac{1}{6}}\) — множество \(\left(-\infty;\ \frac{1}{2}\right) \cup (2;\ +\infty)\).

Ответ: 1) \((-\infty;\ 3]\); 2) \(\left(-\infty;\ \frac{1}{2}\right) \cup (2;\ +\infty)\).

Свойства степени с рациональным показателем верны для положительного основания, поэтому все преобразования выполняем при \(a > 0\) (в пункте 4) ещё и при \(b > 0\)).

1) \(a^{-0{,}8} \cdot a^{1{,}3} = a^{-0{,}8 + 1{,}3} = a^{0{,}5}\).

2) Показатели приводим к общему знаменателю \(18\): \[a^{\frac{7}{9}} : a^{\frac{5}{6}} = a^{\frac{7}{9} - \frac{5}{6}} = a^{\frac{14}{18} - \frac{15}{18}} = a^{-\frac{1}{18}}.\]

3) \(\left(a^{-0{,}4}\right)^{8} = a^{-0{,}4 \cdot 8} = a^{-3{,}2}\).

4) Каждый показатель умножается на \(\frac{6}{11}\) отдельно: \[\left(a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{4}{15}}\right)^{\frac{6}{11}} = a^{\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{11}} b^{\frac{4}{15} \cdot \frac{6}{11}} = a^{\frac{2}{11}}b^{\frac{8}{55}}.\]

5) По определению степени с рациональным показателем \(\sqrt[3]{a^{-2}} = a^{-\frac{2}{3}}\). Тогда \[\left(\sqrt[3]{a^{-2}}\right)^{\frac{3}{8}} \cdot \left(a^{-\frac{5}{6}}\right)^{\frac{3}{10}} = a^{-\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8}} \cdot a^{-\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10}} = a^{-\frac{1}{4}} \cdot a^{-\frac{1}{4}} = a^{-\frac{1}{4} - \frac{1}{4}} = a^{-\frac{1}{2}}.\]

Ответ: при \(a > 0\) и \(b > 0\): 1) \(a^{0{,}5}\); 2) \(a^{-\frac{1}{18}}\); 3) \(a^{-3{,}2}\); 4) \(a^{\frac{2}{11}}b^{\frac{8}{55}}\); 5) \(a^{-\frac{1}{2}}\).

Область определения находим до упрощения формулы. Показатель \(-\frac{1}{11}\) отрицателен, поэтому основание степени должно быть положительным: \(x + 8 > 0\); \(x > -8\).

При \(x > -8\) основание положительно, и по свойству степени степени \[\left((x + 8)^{-\frac{1}{11}}\right)^{-11} = (x + 8)^{\left(-\frac{1}{11}\right) \cdot (-11)} = (x + 8)^{1} = x + 8.\]

Значит, данную функцию можно задать такими условиями: \(y = x + 8\), \(D(y) = (-8;\ +\infty)\). Её график — часть прямой \(y = x + 8\), лежащая правее точки \((-8;\ 0)\); сама точка \((-8;\ 0)\) выколота, так как число \(-8\) в область определения не входит. Построим этот график.

Степень с рациональным показателем определена при неотрицательном основании, а знаменатели дробей не должны обращаться в нуль. Первый знаменатель \(a^{\frac{1}{2}} - 4a^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{4}}\left(a^{\frac{1}{4}} - 4\right)\) обращается в нуль при \(a = 0\) и при \(a^{\frac{1}{4}} = 4\), то есть при \(a = 256\); знаменатель \(5a^{\frac{1}{4}} - 20\) обращается в нуль при \(a = 256\), знаменатель \(5a^{\frac{1}{4}}\) — при \(a = 0\). Новых ограничений они не добавляют. Область допустимых значений: \(a > 0\) и \(a \ne 256\).

Обозначим \(a^{\frac{1}{4}} = t\); тогда \(t > 0\) и \(a^{\frac{1}{2}} = \left(a^{\frac{1}{4}}\right)^{2} = t^2\). Выражение принимает вид \[\frac{t - 3{,}2}{t^2 - 4t} + \frac{t - 5}{5t - 20} - \frac{t + 4}{5t} = \frac{t - 3{,}2}{t(t - 4)} + \frac{t - 5}{5(t - 4)} - \frac{t + 4}{5t}.\]

Общий знаменатель дробей — \(5t(t - 4)\): \[\begin{aligned} &\frac{t - 3{,}2}{t(t - 4)} + \frac{t - 5}{5(t - 4)} - \frac{t + 4}{5t} = {} \\ &= \frac{5(t - 3{,}2) + t(t - 5) - (t + 4)(t - 4)}{5t(t - 4)} = {} \\ &= \frac{5t - 16 + t^2 - 5t - t^2 + 16}{5t(t - 4)} = \frac{0}{5t(t - 4)} = 0. \end{aligned}\]

Числитель обратился в нуль тождественно, поэтому всё выражение равно нулю при каждом допустимом значении переменной.

Ответ: \(0\) (при \(a > 0\), \(a \ne 256\)).