Самостоятельная работа 12 Вариант 2, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Оба подкоренных выражения неотрицательны, поэтому произведение корней равно корню той же степени из произведения подкоренных выражений:

\[\sqrt[4]{125} \cdot \sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{125 \cdot 5} = \sqrt[4]{625} = 5.\]

Здесь \(\sqrt[4]{625} = 5\), так как \(5 \geqslant 0\) и \(5^4 = 625\).

2) Оба подкоренных выражения положительны, поэтому корни можно объединить в один; при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются:

\[\begin{aligned} &\sqrt[9]{2^5 \cdot 5^4} \cdot \sqrt[9]{5^5 \cdot 2^{22}} = \sqrt[9]{2^5 \cdot 5^4 \cdot 5^5 \cdot 2^{22}} = {} \\ &= \sqrt[9]{2^{27} \cdot 5^9} = \sqrt[9]{\left(2^3 \cdot 5\right)^9} = 2^3 \cdot 5 = 40. \end{aligned}\]

3) Числитель неотрицателен, а знаменатель положителен, поэтому частное корней равно корню той же степени из частного подкоренных выражений. Дробь под корнем сокращаем на \(2\), иначе третья степень не видна:

\[\frac{\sqrt[3]{250}}{\sqrt[3]{54}} = \sqrt[3]{\frac{250}{54}} = \sqrt[3]{\frac{125}{27}} = \frac{5}{3}.\]

Действительно, \(\left(\frac{5}{3}\right)^3 = \frac{125}{27}\).

Ответ: 1) \(5\); 2) \(40\); 3) \(\frac{5}{3}\).

1) Показатель внешнего корня чётный, поэтому его подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(\sqrt[3]{c} \geqslant 0\). Корень нечётной степени неотрицателен только при неотрицательном подкоренном выражении, значит, \(c \geqslant 0\). Тогда по свойству корня из корня показатели перемножаются: \[\sqrt[8]{\sqrt[3]{c}} = \sqrt[8 \cdot 3]{c} = \sqrt[24]{c}.\]

2) Выражение \(\sqrt[36]{m^{24}}\) существует при любом \(m\), так как \(m^{24} \geqslant 0\).

Запишем \(m^{24} = \left(m^2\right)^{12}\). Основание \(m^2\) неотрицательно, поэтому показатель корня и показатель степени можно сократить на \(12\):

\[\sqrt[36]{m^{24}} = \sqrt[36]{\left(m^2\right)^{12}} = \sqrt[3]{m^2}.\]

3) Выражение \(\sqrt[14]{t^{18}}\) существует при любом \(t\). Множители \(t^{14}\) и \(t^4\) неотрицательны, поэтому корень из их произведения равен произведению корней:

\[\sqrt[14]{t^{18}} = \sqrt[14]{t^{14} \cdot t^4} = \sqrt[14]{t^{14}} \cdot \sqrt[14]{t^4} = |t| \cdot \sqrt[14]{\left(t^2\right)^2} = |t|\sqrt[7]{t^2}.\]

Здесь \(\sqrt[14]{t^{14}} = |t|\) — показатель корня чётный, и модуль отбрасывать нельзя, а в последнем переходе показатели сокращены на \(2\), что законно, поскольку \(t^2 \geqslant 0\).

4) Внесём множитель \(5\) под знак внутреннего корня: \(5 = \sqrt[4]{5^4} = \sqrt[4]{625}\), поэтому \(5\sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{625} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{1250}\). Тогда \[\sqrt{5\sqrt[4]{2}} = \sqrt{\sqrt[4]{1250}} = \sqrt[8]{1250}.\]

5) Числа \(c\) и \(\sqrt[3]{c^7}\) либо оба неотрицательны, либо оба неположительны, поэтому произведение \(c\sqrt[3]{c^7}\) неотрицательно при любом \(c\): выражение существует при всех значениях \(c\), и знак числа \(c\) из существования корня не следует. Рассмотрим два случая.

Первый случай: \(c \geqslant 0\). Тогда \(c = \sqrt[3]{c^3}\) и

\[\sqrt[10]{c\sqrt[3]{c^7}} = \sqrt[10]{\sqrt[3]{c^3} \cdot \sqrt[3]{c^7}} = \sqrt[10]{\sqrt[3]{c^{10}}} = \sqrt[30]{c^{10}} = \sqrt[3]{c}.\]

Второй случай: \(c < 0\). Тогда \(-c > 0\) и \(\sqrt[3]{c^7} = -\sqrt[3]{-c^7} = -\sqrt[3]{(-c)^7}\), поэтому \(c\sqrt[3]{c^7} = (-c) \cdot \sqrt[3]{(-c)^7} = \sqrt[3]{(-c)^3} \cdot \sqrt[3]{(-c)^7} = \sqrt[3]{(-c)^{10}}\). Значит,

\[\sqrt[10]{c\sqrt[3]{c^7}} = \sqrt[10]{\sqrt[3]{(-c)^{10}}} = \sqrt[30]{(-c)^{10}} = \sqrt[3]{-c}.\]

В первом случае \(\sqrt[3]{c} = \sqrt[3]{|c|}\), во втором \(\sqrt[3]{-c} = \sqrt[3]{|c|}\), поэтому при любом \(c\) получаем \(\sqrt[10]{c\sqrt[3]{c^7}} = \sqrt[3]{|c|}\).

Проверка при \(c = -1\): \(\sqrt[10]{(-1) \cdot \sqrt[3]{-1}} = \sqrt[10]{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt[10]{1} = 1\) и \(\sqrt[3]{|-1|} = \sqrt[3]{1} = 1\).

Ответ: 1) \(\sqrt[24]{c}\); 2) \(\sqrt[3]{m^2}\); 3) \(|t|\sqrt[7]{t^2}\); 4) \(\sqrt[8]{1250}\); 5) \(\sqrt[3]{|c|}\).

1) Разложим подкоренное число на множители так, чтобы один из них был кубом: \(40 = 8 \cdot 5\). Оба множителя положительны, поэтому \[\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{5} = 2\sqrt[3]{5}.\]

2) Разложим подкоренное число на множители так, чтобы один из них был четвёртой степенью: \(162 = 81 \cdot 2\), где \(81 = 3^4\). Оба множителя положительны, поэтому \[\sqrt[4]{162} = \sqrt[4]{81 \cdot 2} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{2} = 3\sqrt[4]{2}.\]

Ответ: 1) \(2\sqrt[3]{5}\); 2) \(3\sqrt[4]{2}\).

1) Показатель корня \(3\) — нечётное число, поэтому множитель вносится под знак корня целиком. Так как \(4 = \sqrt[3]{64}\), то

\[-4\sqrt[3]{5} = -\sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{5} = -\sqrt[3]{320} = \sqrt[3]{-320}.\]

Последний переход — по свойству корня нечётной степени из противоположного числа.

2) Показатель корня \(4\) — чётное число, а корень чётной степени из отрицательного числа не существует, поэтому знак «минус» остаётся перед корнем. Так как \(10 = \sqrt[4]{10\,000}\), то

\[-10\sqrt[4]{0{,}24} = -\sqrt[4]{10\,000} \cdot \sqrt[4]{0{,}24} = -\sqrt[4]{10\,000 \cdot 0{,}24} = -\sqrt[4]{2400}.\]

Ответ: 1) \(\sqrt[3]{-320}\); 2) \(-\sqrt[4]{2400}\).

1) Из существования \(\sqrt[6]{x}\) следует, что \(x \geqslant 0\). Знаменатель \(\sqrt[6]{x} - 2\) обращается в нуль, когда \(\sqrt[6]{x} = 2\), то есть когда \(x = 2^6 = 64\). Значит, область определения дроби задаётся условиями \(x \geqslant 0\), \(x \ne 64\), и точка \(64\) выколота.

Так как \(x \geqslant 0\), то \(\left(\sqrt[6]{x}\right)^2 = \sqrt[6]{x^2} = \sqrt[3]{x}\). Разложив числитель на множители по формуле разности квадратов, получаем:

\[\frac{\sqrt[3]{x} - 4}{\sqrt[6]{x} - 2} = \frac{\left(\sqrt[6]{x}\right)^2 - 2^2}{\sqrt[6]{x} - 2} = \frac{\left(\sqrt[6]{x} - 2\right)\left(\sqrt[6]{x} + 2\right)}{\sqrt[6]{x} - 2} = \sqrt[6]{x} + 2.\]

2) Из существования корней четвёртой и второй степени следует, что \(x \geqslant 0\). Обозначим \(t = \sqrt[4]{x}\), тогда \(t \geqslant 0\) и \(x = t^4\), \(\sqrt{x} = \left(\sqrt[4]{x}\right)^2 = t^2\), \(\sqrt[4]{x^3} = \left(\sqrt[4]{x}\right)^3 = t^3\).

Знаменатель \(t^2 + t = t(t + 1)\) при \(t \geqslant 0\) обращается в нуль только при \(t = 0\), так как множитель \(t + 1\) положителен; значит, область определения дроби — промежуток \((0;\ +\infty)\), и точка \(0\) выколота.

\[\frac{\sqrt[4]{x^3} + x}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}} = \frac{t^3 + t^4}{t^2 + t} = \frac{t^3(1 + t)}{t(1 + t)} = t^2 = \sqrt{x}.\]

3) Из существования квадратных корней следует, что \(x \geqslant 0\).

При \(x \geqslant 0\) имеем \(x = \left(\sqrt{x}\right)^2\), поэтому \(x\sqrt{x} = \left(\sqrt{x}\right)^3\); кроме того, \(2\sqrt{2} = \left(\sqrt{2}\right)^3\) и \(\sqrt{x} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2x}\). Значит, числитель — неполный квадрат суммы: \(\left(\sqrt{x}\right)^2 + \sqrt{x} \cdot \sqrt{2} + \left(\sqrt{2}\right)^2 = x + \sqrt{2x} + 2\), а знаменатель раскладывается по формуле разности кубов:

\[x\sqrt{x} - 2\sqrt{2} = \left(\sqrt{x}\right)^3 - \left(\sqrt{2}\right)^3 = \left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right)\left(x + \sqrt{2x} + 2\right).\]

Числитель положителен при всех \(x \geqslant 0\) (каждое из чисел \(x\) и \(\sqrt{2x}\) неотрицательно), поэтому знаменатель обращается в нуль только при \(\sqrt{x} = \sqrt{2}\), то есть при \(x = 2\). Область определения дроби задаётся условиями \(x \geqslant 0\), \(x \ne 2\); точка \(0\) в неё входит.

\[\frac{x + \sqrt{2x} + 2}{x\sqrt{x} - 2\sqrt{2}} = \frac{x + \sqrt{2x} + 2}{\left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right)\left(x + \sqrt{2x} + 2\right)} = \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}.\]

Ответ: 1) \(\sqrt[6]{x} + 2\) при \(x \geqslant 0\), \(x \ne 64\); 2) \(\sqrt{x}\) при \(x > 0\); 3) \(\frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\) при \(x \geqslant 0\), \(x \ne 2\).