Самостоятельная работа 12 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Оба подкоренных числа неотрицательны, поэтому произведение корней одной степени равно корню из произведения: \[\sqrt[6]{16} \cdot \sqrt[6]{4} = \sqrt[6]{16 \cdot 4} = \sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^6} = 2.\]

2) При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \[\begin{aligned} &\sqrt[7]{7^4 \cdot 2^9} \cdot \sqrt[7]{7^3 \cdot 2^5} = \sqrt[7]{7^4 \cdot 2^9 \cdot 7^3 \cdot 2^5} = {} \\ &= \sqrt[7]{7^7 \cdot 2^{14}} = \sqrt[7]{7^7 \cdot \left(2^2\right)^7} = 7 \cdot 4 = 28. \end{aligned}\]

3) Числитель неотрицателен, знаменатель положителен, поэтому частное корней одной степени равно корню из частного. Дробь под корнем сократим на \(3\) — тогда станет видна четвёртая степень: \[\begin{aligned} &\dfrac{\sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{243}} = \sqrt[4]{\dfrac{48}{243}} = \sqrt[4]{\dfrac{16}{81}} = {} \\ &= \dfrac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{81}} = \dfrac{\sqrt[4]{2^4}}{\sqrt[4]{3^4}} = \dfrac{2}{3}. \end{aligned}\]

Ответ: 1) \(2\); 2) \(28\); 3) \(\dfrac{2}{3}\).

1) Внутренний корень нечётной степени существует при любом значении \(b\), а внешний корень чётной степени требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: \(\sqrt[7]{b} \geqslant 0\), то есть \(b \geqslant 0\). При неотрицательном подкоренном числе корень из корня равен корню, показатель которого — произведение показателей: \[\sqrt[6]{\sqrt[7]{b}} = \sqrt[6 \cdot 7]{b} = \sqrt[42]{b}.\]

2) Показатель степени чётный, поэтому \(n^{16} \geqslant 0\) и выражение определено при любом значении переменной \(n\). Представим подкоренное выражение четвёртой степенью неотрицательного числа: \(n^{16} = \left(n^4\right)^4\). Основание \(n^4\) неотрицательно, поэтому показатель корня и показатель степени можно сократить на \(4\): \[\sqrt[28]{n^{16}} = \sqrt[28]{\left(n^4\right)^4} = \sqrt[7]{n^4}.\]

3) Показатель степени чётный, поэтому \(d^{26} \geqslant 0\) и выражение определено при любом значении \(d\). Выделим под корнем восемнадцатую степень: \(d^{26} = d^{18} \cdot d^8\), причём оба множителя неотрицательны. Тогда \[\sqrt[18]{d^{26}} = \sqrt[18]{d^{18} \cdot d^8} = \sqrt[18]{d^{18}} \cdot \sqrt[18]{d^8} = |d| \cdot \sqrt[18]{d^8}.\]

Показатель корня чётный, поэтому корень из восемнадцатой степени равен именно \(|d|\), а не \(d\). Далее \(d^8 = \left(d^4\right)^2\), основание \(d^4\) неотрицательно, и показатели сокращаются на \(2\): \(\sqrt[18]{d^8} = \sqrt[9]{d^4}\). Значит, \(\sqrt[18]{d^{26}} = |d|\sqrt[9]{d^4}\).

Модуль здесь обязателен: при \(d < 0\) данное выражение положительно, а запись «\(\sqrt[9]{d^{13}}\)» давала бы отрицательное число.

4) Оба показателя нечётные, множители под корнями положительны. Внесём множитель \(6\) под внутренний корень: \(6 = \sqrt[3]{216}\), поэтому \(6\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{216} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{1080}\). Тогда \[\sqrt[3]{6\sqrt[3]{5}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{1080}} = \sqrt[9]{1080}.\]

5) Внутренний корень нечётной степени существует при любом значении \(p\), а подкоренное выражение внешнего корня неотрицательно тоже при любом \(p\): при \(p > 0\) оба множителя положительны, при \(p < 0\) оба отрицательны, при \(p = 0\) произведение равно нулю. Значит, знак \(p\) из условия не следует. Рассмотрим два случая.

Первый случай: \(p \geqslant 0\). Тогда \(p = \sqrt[5]{p^5}\) и \[\sqrt[6]{p\sqrt[5]{p}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{p^5} \cdot \sqrt[5]{p}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{p^6}} = \sqrt[30]{p^6} = \sqrt[5]{p}.\]

Второй случай: \(p < 0\). Тогда \(-p > 0\), причём \(p = -\sqrt[5]{(-p)^5}\) и \(\sqrt[5]{p} = -\sqrt[5]{-p}\), поэтому произведение двух отрицательных множителей даёт \[\sqrt[6]{p\sqrt[5]{p}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{(-p)^5} \cdot \sqrt[5]{-p}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{(-p)^6}} = \sqrt[30]{(-p)^6} = \sqrt[5]{-p}.\]

В первом случае получилось \(\sqrt[5]{p}\), во втором — \(\sqrt[5]{-p}\), то есть в обоих случаях \(\sqrt[5]{|p|}\).

Ответ: 1) \(\sqrt[42]{b}\); 2) \(\sqrt[7]{n^4}\); 3) \(|d|\sqrt[9]{d^4}\); 4) \(\sqrt[9]{1080}\); 5) \(\sqrt[5]{|p|}\).

1) Выделим под корнем куб: \(24 = 8 \cdot 3\), оба множителя положительны, поэтому \[\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3}.\]

2) Из-под корня четвёртой степени выносится четвёртая степень, поэтому под корнем выделяем \(81 = 3^4\), а не \(9^2\): \[\sqrt[4]{243} = \sqrt[4]{81 \cdot 3} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{3} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{3} = 3\sqrt[4]{3}.\]

Ответ: 1) \(2\sqrt[3]{3}\); 2) \(3\sqrt[4]{3}\).

1) Показатель корня нечётный, поэтому множитель вносится под корень целиком, вместе со знаком. Так как \(3 = \sqrt[3]{27}\), получаем \[-3\sqrt[3]{4} = -\sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{4} = -\sqrt[3]{27 \cdot 4} = -\sqrt[3]{108} = \sqrt[3]{-108};\] последний переход — по свойству корня нечётной степени: \(\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}\).

2) Показатель корня чётный, а корня чётной степени из отрицательного числа не существует, поэтому минус обязан остаться перед корнем. Так как \(10 = \sqrt[4]{10\,000}\), получаем \[-10\sqrt[4]{0{,}789} = -\sqrt[4]{10\,000} \cdot \sqrt[4]{0{,}789} = -\sqrt[4]{10\,000 \cdot 0{,}789} = -\sqrt[4]{7890}.\]

Ответ: 1) \(\sqrt[3]{-108}\); 2) \(-\sqrt[4]{7890}\).

1) Оба корня чётной степени, поэтому область допустимых значений задаётся условием \(x \geqslant 0\). Знаменатель \(\sqrt[4]{x} + 3 \geqslant 3 > 0\) в нуль не обращается, выколотых точек нет.

Так как \(x \geqslant 0\), верно равенство \(\left(\sqrt[4]{x}\right)^2 = \sqrt[4]{x^2} = \sqrt{x}\), и числитель раскладывается на множители как разность квадратов: \[\dfrac{\sqrt{x} - 9}{\sqrt[4]{x} + 3} = \dfrac{\left(\sqrt[4]{x}\right)^2 - 3^2}{\sqrt[4]{x} + 3} = \dfrac{\left(\sqrt[4]{x} - 3\right)\left(\sqrt[4]{x} + 3\right)}{\sqrt[4]{x} + 3} = \sqrt[4]{x} - 3.\]

2) Корни \(\sqrt[6]{x}\) и \(\sqrt[6]{x^5}\) чётной степени, поэтому \(x \geqslant 0\). При \(x = 0\) знаменатель равен нулю, при \(x > 0\) он положителен, значит, область допустимых значений — \(x > 0\), а точка \(x = 0\) выколота.

При \(x > 0\) имеем \(\sqrt[3]{x} = \left(\sqrt[6]{x}\right)^2\), \(\sqrt[6]{x^5} = \left(\sqrt[6]{x}\right)^5\) и \(x = \left(\sqrt[6]{x}\right)^6\), поэтому в числителе выносится за скобки \(\sqrt[6]{x}\), а в знаменателе — \(\left(\sqrt[6]{x}\right)^5\): \[\dfrac{\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x}}{x + \sqrt[6]{x^5}} = \dfrac{\sqrt[6]{x}\left(\sqrt[6]{x} + 1\right)}{\left(\sqrt[6]{x}\right)^5\left(\sqrt[6]{x} + 1\right)} = \dfrac{1}{\left(\sqrt[6]{x}\right)^4} = \dfrac{1}{\sqrt[6]{x^4}} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}}.\]

3) Все корни нечётной степени, поэтому они существуют при любом значении \(x\). Равенства \(\left(\sqrt[3]{x}\right)^3 = x\) и \(\left(\sqrt[3]{x}\right)^2 = \sqrt[3]{x^2}\) верны при любом \(x\): при \(x < 0\) второе из них следует из равенства \(\sqrt[3]{x} = -\sqrt[3]{-x}\), ведь при возведении в квадрат знак пропадает.

Знаменатель — квадратный трёхчлен относительно \(\sqrt[3]{x}\), и его дискриминант \(D = 16 - 64 = -48\) отрицателен, поэтому знаменатель положителен при любом \(x\): область допустимых значений — все действительные числа, выколотых точек нет.

Числитель — сумма кубов: \(x + 64 = \left(\sqrt[3]{x}\right)^3 + 4^3\). Значит, \[\dfrac{x + 64}{\sqrt[3]{x^2} - 4\sqrt[3]{x} + 16} = \dfrac{\left(\sqrt[3]{x} + 4\right)\left(\left(\sqrt[3]{x}\right)^2 - 4\sqrt[3]{x} + 16\right)}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^2 - 4\sqrt[3]{x} + 16} = \sqrt[3]{x} + 4.\]

Ответ: 1) \(\sqrt[4]{x} - 3\) при \(x \geqslant 0\); 2) \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\) при \(x > 0\); 3) \(\sqrt[3]{x} + 4\) при любом значении \(x\).