Самостоятельная работа 14 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Степень положительного числа с рациональным показателем вычисляют по определению: \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\).

1) \(64^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{64^1} = \sqrt[6]{64} = 2\).

2) Отрицательный показатель даёт дробь, а не отрицательное число: \[\begin{aligned} &81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{81^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{81^3}} = {} \\ &= \frac{1}{\left(\sqrt[4]{81}\right)^{3}} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}. \end{aligned}\]

3) Смешанную дробь превратим в неправильную: \(1\frac{24}{25} = \frac{49}{25}\), а показатель запишем обыкновенной дробью: \(1{,}5 = \frac{3}{2}\). Так как \(\frac{49}{25} = \left(\frac{7}{5}\right)^{2}\), то по свойству степени степени (основание положительно): \[\left(1\frac{24}{25}\right)^{1{,}5} = \left(\left(\frac{7}{5}\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}} = \left(\frac{7}{5}\right)^{2 \cdot \frac{3}{2}} = \left(\frac{7}{5}\right)^{3} = \frac{343}{125}.\]

Ответ: 1) \(2\); 2) \(\frac{1}{27}\); 3) \(\frac{343}{125}\).

Область определения степени с рациональным показателем зависит от знака показателя: при положительном показателе основание может быть и нулём, при отрицательном — только положительным числом.

1) Показатель \(1{,}9 = \frac{19}{10}\) положителен, поэтому основание может быть любым неотрицательным числом: \(7 - x \geqslant 0\); \(x \leqslant 7\).

Область определения функции \(y = (7 - x)^{1{,}9}\) — промежуток \((-\infty;\ 7]\).

2) Показатель \(-\frac{2}{3}\) отрицателен, поэтому основание должно быть положительным: \(7 - 6x - x^2 > 0\), то есть \(x^2 + 6x - 7 < 0\).

Найдём корни трёхчлена: \(D = 36 + 28 = 64\); \(x_1 = \frac{-6 - 8}{2} = -7\), \(x_2 = \frac{-6 + 8}{2} = 1\). Ветви параболы направлены вверх, поэтому трёхчлен отрицателен между корнями: \(-7 < x < 1\).

Область определения функции \(y = (7 - 6x - x^2)^{-\frac{2}{3}}\) — промежуток \((-7;\ 1)\).

Ответ: 1) \((-\infty;\ 7]\); 2) \((-7;\ 1)\).

Свойства степени с рациональным показателем верны для положительного основания, поэтому все преобразования выполняем при \(m > 0\) (в пункте 4) ещё и при \(n > 0\)).

1) \(m^{-2{,}5} \cdot m^{3{,}2} = m^{-2{,}5 + 3{,}2} = m^{0{,}7}\).

2) Показатели приводим к общему знаменателю \(24\): \[m^{\frac{5}{6}} : m^{\frac{7}{8}} = m^{\frac{5}{6} - \frac{7}{8}} = m^{\frac{20}{24} - \frac{21}{24}} = m^{-\frac{1}{24}}.\]

3) \(\left(m^{-0{,}7}\right)^{7} = m^{-0{,}7 \cdot 7} = m^{-4{,}9}\).

4) Показатель \(0{,}7 = \frac{7}{10}\), и каждый показатель умножается на \(\frac{20}{63}\) отдельно: \[\left(m^{\frac{3}{5}}n^{0{,}7}\right)^{\frac{20}{63}} = m^{\frac{3}{5} \cdot \frac{20}{63}} n^{\frac{7}{10} \cdot \frac{20}{63}} = m^{\frac{60}{315}}n^{\frac{140}{630}} = m^{\frac{4}{21}}n^{\frac{2}{9}}.\]

5) По определению степени с рациональным показателем \(\sqrt[8]{m^{-3}} = m^{-\frac{3}{8}}\). Тогда \[\left(\sqrt[8]{m^{-3}}\right)^{\frac{16}{9}} \cdot \left(m^{\frac{3}{7}}\right)^{-\frac{14}{9}} = m^{-\frac{3}{8} \cdot \frac{16}{9}} \cdot m^{\frac{3}{7} \cdot \left(-\frac{14}{9}\right)} = m^{-\frac{2}{3}} \cdot m^{-\frac{2}{3}} = m^{-\frac{2}{3} - \frac{2}{3}} = m^{-\frac{4}{3}}.\]

Ответ: при \(m > 0\) и \(n > 0\): 1) \(m^{0{,}7}\); 2) \(m^{-\frac{1}{24}}\); 3) \(m^{-4{,}9}\); 4) \(m^{\frac{4}{21}}n^{\frac{2}{9}}\); 5) \(m^{-\frac{4}{3}}\).

Область определения находим до упрощения формулы. Показатель \(-\frac{1}{5}\) отрицателен, поэтому основание степени должно быть положительным: \(x - 2 > 0\); \(x > 2\).

При \(x > 2\) основание положительно, и по свойству степени степени \[\left((x - 2)^{-\frac{1}{5}}\right)^{-5} = (x - 2)^{\left(-\frac{1}{5}\right) \cdot (-5)} = (x - 2)^{1} = x - 2.\]

Значит, данную функцию можно задать такими условиями: \(y = x - 2\), \(D(y) = (2;\ +\infty)\). Её график — часть прямой \(y = x - 2\), лежащая правее точки \((2;\ 0)\); сама точка \((2;\ 0)\) выколота, так как число \(2\) в область определения не входит. Построим этот график.

Степень с рациональным показателем определена при неотрицательном основании, а знаменатели дробей не должны обращаться в нуль. Первый знаменатель \(x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{1}{6}}\left(x^{\frac{1}{6}} + 1\right)\) обращается в нуль только при \(x = 0\): множитель \(x^{\frac{1}{6}} + 1\) не меньше единицы. Знаменатель \(2x^{\frac{1}{3}} + 2x^{\frac{1}{6}}\) отличается от него множителем \(2\) и даёт то же условие, а знаменатель \(2x^{\frac{1}{6}} + 2\) положителен при каждом значении переменной, при котором он определён. Область допустимых значений: \(x > 0\).

Обозначим \(x^{\frac{1}{6}} = t\); тогда \(t > 0\) и \(x^{\frac{1}{3}} = \left(x^{\frac{1}{6}}\right)^{2} = t^2\). Выражение принимает вид \[\frac{t + 4}{t^2 + t} - \frac{t + 6}{2t + 2} + \frac{t^2 + 4t - 8}{2t^2 + 2t} = \frac{t + 4}{t(t + 1)} - \frac{t + 6}{2(t + 1)} + \frac{t^2 + 4t - 8}{2t(t + 1)}.\]

Общий знаменатель дробей — \(2t(t + 1)\): \[\begin{aligned} &\frac{t + 4}{t(t + 1)} - \frac{t + 6}{2(t + 1)} + \frac{t^2 + 4t - 8}{2t(t + 1)} = {} \\ &= \frac{2(t + 4) - t(t + 6) + t^2 + 4t - 8}{2t(t + 1)} = {} \\ &= \frac{2t + 8 - t^2 - 6t + t^2 + 4t - 8}{2t(t + 1)} = \frac{0}{2t(t + 1)} = 0. \end{aligned}\]

Числитель обратился в нуль тождественно, поэтому всё выражение равно нулю при каждом допустимом значении переменной.

Ответ: \(0\) (при \(x > 0\)).