Самостоятельная работа 13 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Оба числа в каждом пункте положительны, поэтому их можно сравнивать, приведя корни к общему показателю: корень одной и той же степени тем больше, чем больше подкоренное число (функция \(y = \sqrt[n]{x}\) возрастающая).

1) Общий показатель для \(3\) и \(5\) — число \(15\). Подкоренные числа неотрицательны, поэтому показатель корня и показатель степени под ним можно умножить на одно и то же число: \[\sqrt[3]{2} = \sqrt[15]{2^5} = \sqrt[15]{32}, \qquad \sqrt[5]{3} = \sqrt[15]{3^3} = \sqrt[15]{27}.\]

Так как \(32 > 27\), то \(\sqrt[15]{32} > \sqrt[15]{27}\), то есть \(\sqrt[3]{2} > \sqrt[5]{3}\).

2) Общий показатель для \(8\) и \(12\) — число \(24\): \[\sqrt[8]{7} = \sqrt[24]{7^3} = \sqrt[24]{343}, \qquad \sqrt[12]{18} = \sqrt[24]{18^2} = \sqrt[24]{324}.\]

Так как \(343 > 324\), то \(\sqrt[24]{343} > \sqrt[24]{324}\), то есть \(\sqrt[8]{7} > \sqrt[12]{18}\). Подкоренные числа близки, поэтому прикидка десятичными дробями здесь ненадёжна — сравнивать надо именно подкоренные числа.

Ответ: 1) \(\sqrt[3]{2} > \sqrt[5]{3}\); 2) \(\sqrt[8]{7} > \sqrt[12]{18}\).

1) Подкоренное выражение \((x - 3)^8\) неотрицательно при любом \(x\), поэтому область определения функции — все действительные числа. Показатель корня чётный и совпадает с показателем степени под ним, поэтому корень равен модулю основания: \(y = \sqrt[8]{(x - 3)^8} = |x - 3|\). Это не прямая \(y = x - 3\), а «уголок»: при \(x \geqslant 3\) получаем \(y = x - 3\), при \(x < 3\) получаем \(y = 3 - x\). Вершина «уголка» — точка \((3;\ 0)\).

2) Каждый множитель — корень чётной (десятой) степени, поэтому область определения задают оба подкоренных выражения сразу: \((x + 1)^9 \geqslant 0\) и \(x + 1 \geqslant 0\). Оба условия дают \(x \geqslant -1\).

При \(x \geqslant -1\) оба подкоренных выражения неотрицательны, поэтому произведение корней равно корню из произведения: \[\begin{aligned} &y = \sqrt[10]{(x + 1)^9} \cdot \sqrt[10]{x + 1} = \sqrt[10]{(x + 1)^9 (x + 1)} = {} \\ &= \sqrt[10]{(x + 1)^{10}} = |x + 1| = x + 1. \end{aligned}\]

График — не «уголок», а луч: слева от точки \(x = -1\) функция не определена. Луч выходит из точки \((-1;\ 0)\), и сама эта точка графику принадлежит.

1) Корень чётной степени существует, только если \(x^{19} \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant 0\). Выделим под корнем четвёртую степень: \(x^{19} = x^{16} \cdot x^3\), оба множителя неотрицательны. Тогда \[\sqrt[4]{x^{19}} = \sqrt[4]{\left(x^4\right)^4} \cdot \sqrt[4]{x^3} = \left|x^4\right|\sqrt[4]{x^3} = x^4\sqrt[4]{x^3}.\]

2) Показатель корня нечётный, поэтому выражение определено при любом значении \(c\) и знак \(c\) из условия не следует. Разложить подкоренное выражение на множители по свойству корня из произведения нельзя: это свойство требует неотрицательности обоих множителей, а само подкоренное выражение \(-c^{22}\) неположительно, поэтому неположительным окажется и один из множителей. Воспользуемся другим приёмом: чтобы доказать равенство \(\sqrt[5]{u} = v\), достаточно показать, что \(v^5 = u\). Возведём число \(-c^4\sqrt[5]{c^2}\) в пятую степень: \[\left(-c^4\sqrt[5]{c^2}\right)^5 = -c^{20} \cdot \left(\sqrt[5]{c^2}\right)^5 = -c^{20} \cdot c^2 = -c^{22}.\]

Значит, \(\sqrt[5]{-c^{22}} = -c^4\sqrt[5]{c^2}\).

3) Корень чётной степени существует, только если \(x^{14}y^{13} \geqslant 0\). Множитель \(x^{14}\) неотрицателен, поэтому при \(x \ne 0\) отсюда следует \(y^{13} \geqslant 0\), то есть \(y \geqslant 0\) (при \(x = 0\) и данное выражение, и полученный ниже ответ равны нулю, так что запись годится и в этом случае). Выделим четвёртые степени: \(x^{14}y^{13} = x^{12}y^{12} \cdot x^2y\), оба множителя неотрицательны. Тогда \[\sqrt[4]{x^{14}y^{13}} = \sqrt[4]{\left(x^3y^3\right)^4} \cdot \sqrt[4]{x^2y} = \left|x^3y^3\right|\sqrt[4]{x^2y} = |x|^3y^3\sqrt[4]{x^2y}.\]

Модуль здесь снять нельзя: показатель \(3\) при \(x\) нечётный, знак \(x\) условием не задан, а корень чётной степени неотрицателен (\(y^3 \geqslant 0\), так как \(y \geqslant 0\)).

4) Корень чётной степени существует, только если \(-256y^{17} \geqslant 0\), то есть \(y^{17} \leqslant 0\) и \(y \leqslant 0\). Разложим подкоренное выражение на неотрицательные множители: \(-256y^{17} = 256y^{16} \cdot (-y)\), где \(256y^{16} \geqslant 0\) и \(-y \geqslant 0\). Тогда \[\sqrt[4]{-256y^{17}} = \sqrt[4]{\left(4y^4\right)^4} \cdot \sqrt[4]{-y} = \left|4y^4\right|\sqrt[4]{-y} = 4y^4\sqrt[4]{-y},\] так как \(4y^4 \geqslant 0\): минус перед ответом здесь не появляется.

5) Корень чётной степени существует, только если \(x^{14}y^{17} \geqslant 0\). Множитель \(x^{14}\) неотрицателен, поэтому при \(x \ne 0\) отсюда следует \(y \geqslant 0\) (при \(x = 0\) обе записи равны нулю). Выделим двенадцатые степени: \(x^{14}y^{17} = x^{12}y^{12} \cdot x^2y^5\), оба множителя неотрицательны. Тогда \[\sqrt[12]{x^{14}y^{17}} = \sqrt[12]{(xy)^{12}} \cdot \sqrt[12]{x^2y^5} = |xy|\sqrt[12]{x^2y^5} = -xy\sqrt[12]{x^2y^5},\] так как по условию \(x \leqslant 0\), а \(y \geqslant 0\), значит, произведение \(xy\) неположительно.

6) Корень чётной степени существует, только если \(-m^{29}n^{16} \geqslant 0\). Множитель \(n^{16}\) неотрицателен, поэтому при \(n \ne 0\) отсюда следует \(-m^{29} \geqslant 0\), то есть \(m \leqslant 0\) (при \(n = 0\) обе записи равны нулю). Выделим четырнадцатые степени: \(-m^{29}n^{16} = m^{28}n^{14} \cdot (-m)n^2\), оба множителя неотрицательны. Тогда \[\sqrt[14]{-m^{29}n^{16}} = \sqrt[14]{\left(m^2n\right)^{14}} \cdot \sqrt[14]{-mn^2} = \left|m^2n\right|\sqrt[14]{-mn^2} = -m^2n\sqrt[14]{-mn^2},\] так как \(m^2 \geqslant 0\), а по условию \(n \leqslant 0\), значит, произведение \(m^2n\) неположительно.

Ответ: 1) \(x^4\sqrt[4]{x^3}\); 2) \(-c^4\sqrt[5]{c^2}\); 3) \(|x|^3y^3\sqrt[4]{x^2y}\); 4) \(4y^4\sqrt[4]{-y}\); 5) \(-xy\sqrt[12]{x^2y^5}\); 6) \(-m^2n\sqrt[14]{-mn^2}\).

1) Показатель корня нечётный, поэтому корень существует при любом \(m\) и случаи по знаку \(m\) разбирать не нужно; минус наружу не выносится. Множители могут быть разных знаков, поэтому свойство корня из произведения здесь неприменимо, и воспользуемся другим приёмом: чтобы доказать равенство \(\sqrt[3]{u} = v\), достаточно показать, что \(v^3 = u\). Возведём данное выражение в куб: \[\left(2m\sqrt[3]{3m^4}\right)^3 = 8m^3 \cdot \left(\sqrt[3]{3m^4}\right)^3 = 8m^3 \cdot 3m^4 = 24m^7.\]

Значит, \(2m\sqrt[3]{3m^4} = \sqrt[3]{24m^7}\).

2) Корень чётной степени существует, только если \(-b^7 \geqslant 0\), то есть \(b \leqslant 0\). Множитель неположителен, поэтому под корень он вносится с минусом перед корнем: \(b = -\sqrt{b^2}\). Тогда \[b\sqrt{-b^7} = -\sqrt{b^2} \cdot \sqrt{-b^7} = -\sqrt{b^2 \cdot \left(-b^7\right)} = -\sqrt{-b^9}.\]

3) Корень чётной степени существует, только если \(x^5 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 0\). Множитель неотрицателен, поэтому \(x = \sqrt[6]{x^6}\), и \[x\sqrt[6]{x^5} = \sqrt[6]{x^6} \cdot \sqrt[6]{x^5} = \sqrt[6]{x^6 \cdot x^5} = \sqrt[6]{x^{11}}.\]

4) Знак множителя задан условием: \(a \leqslant 0\), поэтому \(a = -\sqrt[12]{a^{12}}\) и \[a\sqrt[12]{a^8} = -\sqrt[12]{a^{12}} \cdot \sqrt[12]{a^8} = -\sqrt[12]{a^{12} \cdot a^8} = -\sqrt[12]{a^{20}}.\]

5) По условию \(x < 0\) и \(y > 0\), поэтому \(y^3 > 0\) и множитель \(xy^3\) отрицателен: под корень чётной степени он вносится с минусом перед корнем, \(xy^3 = -\sqrt[4]{\left(xy^3\right)^4} = -\sqrt[4]{x^4y^{12}}\). При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \[xy^3\sqrt[4]{x^{10}y^{14}} = -\sqrt[4]{x^4y^{12}} \cdot \sqrt[4]{x^{10}y^{14}} = -\sqrt[4]{x^4y^{12} \cdot x^{10}y^{14}} = -\sqrt[4]{x^{14}y^{26}}.\]

Ответ: 1) \(\sqrt[3]{24m^7}\); 2) \(-\sqrt{-b^9}\); 3) \(\sqrt[6]{x^{11}}\); 4) \(-\sqrt[12]{a^{20}}\); 5) \(-\sqrt[4]{x^{14}y^{26}}\).

Корни чётной степени требуют \(x \geqslant 0\). Знаменатель \(\sqrt[4]{x} + 1\) положителен при любом таком значении \(x\), знаменатель \(\sqrt[4]{x} - 1\) обращается в нуль при \(x = 1\), при том же значении обращается в нуль знаменатель \(3 - 3\sqrt{x}\). Делитель в нуль не обращается: его числитель \(5\sqrt{x} + 5 \geqslant 5 > 0\). Значит, область допустимых значений: \(x \geqslant 0\), \(x \ne 1\); точка \(x = 0\) в неё входит.

Приведём дроби в скобках к общему знаменателю \(\left(\sqrt[4]{x} - 1\right)\left(\sqrt[4]{x} + 1\right) = \left(\sqrt[4]{x}\right)^2 - 1 = \sqrt{x} - 1\). В скобках стоит сумма, поэтому квадраты складываются: \[\begin{aligned} &\dfrac{\sqrt[4]{x} + 1}{\sqrt[4]{x} - 1} + \dfrac{\sqrt[4]{x} - 1}{\sqrt[4]{x} + 1} = \dfrac{\left(\sqrt[4]{x} + 1\right)^2 + \left(\sqrt[4]{x} - 1\right)^2}{\sqrt{x} - 1} = {} \\ &= \dfrac{\left(\sqrt{x} + 2\sqrt[4]{x} + 1\right) + \left(\sqrt{x} - 2\sqrt[4]{x} + 1\right)}{\sqrt{x} - 1} = \dfrac{2\left(\sqrt{x} + 1\right)}{\sqrt{x} - 1}. \end{aligned}\]

Делитель разложим на множители: \(\dfrac{5\sqrt{x} + 5}{3 - 3\sqrt{x}} = \dfrac{5\left(\sqrt{x} + 1\right)}{3\left(1 - \sqrt{x}\right)}\). Деление заменим умножением на обратную дробь и учтём, что \(1 - \sqrt{x} = -\left(\sqrt{x} - 1\right)\) — минус от этой перестановки терять нельзя: \[\dfrac{2\left(\sqrt{x} + 1\right)}{\sqrt{x} - 1} \cdot \dfrac{3\left(1 - \sqrt{x}\right)}{5\left(\sqrt{x} + 1\right)} = \dfrac{2 \cdot 3 \cdot \left(-\left(\sqrt{x} - 1\right)\right)}{5\left(\sqrt{x} - 1\right)} = -\dfrac{6}{5}.\]

Значение выражения от \(x\) не зависит: при всех допустимых значениях оно равно \(-\dfrac{6}{5}\).

Ответ: \(-\dfrac{6}{5}\) при \(x \geqslant 0\), \(x \ne 1\).