Самостоятельная работа 22 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка
Длина промежутка равна \(\frac{11\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{6}\right) = 2\pi\) — это главный период функции \(y = \sin x\); оба конца промежутку принадлежат. Числа запишем в шестых долях числа \(\pi\).
1) Нули функции \(y = \sin x\) — числа вида \(\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Данному промежутку принадлежат числа \(0\) и \(\pi = \frac{6\pi}{6}\), а числа \(-\pi = -\frac{6\pi}{6}\) и \(2\pi = \frac{12\pi}{6}\) ему не принадлежат: первое меньше левого конца, второе больше правого.
2) Наибольшее значение, равное \(1\), функция принимает в точках вида \(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); данному промежутку принадлежит только точка \(\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}\), ведь точка \(\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{15\pi}{6}\) больше правого конца, а точка \(\frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{9\pi}{6}\) меньше левого.
Наименьшее значение, равное \(-1\), функция принимает в точках вида \(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); данному промежутку принадлежит только точка \(-\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}\), ведь точка \(-\frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{6}\) меньше левого конца.
Ответ: 1) нули функции \(y = \sin x\) на данном промежутке — числа \(0\) и \(\pi\); 2) наибольшее значение функция принимает при \(x = \frac{\pi}{2}\), наименьшее — при \(x = \frac{3\pi}{2}\).
1) Оба числа больше \(2\pi\): \(\frac{17\pi}{8} = \frac{\pi}{8} + 2\pi\) и \(\frac{19\pi}{9} = \frac{\pi}{9} + 2\pi\), а \(2\pi\) — период функции \(y = \sin x\), поэтому
\[\sin\frac{17\pi}{8} = \sin\frac{\pi}{8}, \quad \sin\frac{19\pi}{9} = \sin\frac{\pi}{9}.\]
Числа \(\frac{\pi}{9}\) и \(\frac{\pi}{8}\) принадлежат промежутку \(\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]\), на котором функция \(y = \sin x\) возрастает, и \(\frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{8}\), поэтому \(\sin\frac{\pi}{9} < \sin\frac{\pi}{8}\), то есть \(\sin\frac{17\pi}{8} > \sin\frac{19\pi}{9}\).
2) Функция \(y = \cos x\) чётная, поэтому \(\cos(-3) = \cos 3\) и \(\cos(-2) = \cos 2\).
Числа \(2\) и \(3\) принадлежат промежутку \([0;\ \pi]\) (ведь \(\pi \approx 3{,}14\)), на котором функция \(y = \cos x\) убывает, и \(2 < 3\), поэтому \(\cos 2 > \cos 3\), то есть \(\cos(-3) < \cos(-2)\).
Ответ: 1) \(\sin\frac{17\pi}{8} > \sin\frac{19\pi}{9}\); 2) \(\cos(-3) < \cos(-2)\).
1) Функция \(y = \cos x\) убывает на промежутке \([0^\circ;\ 180^\circ]\), а \(47^\circ > 45^\circ\), поэтому \(\cos 47^\circ < \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и
\[\sqrt{2}\cos 47^\circ < \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1.\]
Кроме того, \(47^\circ\) — угол первой четверти, поэтому \(\cos 47^\circ > 0\) и \(\sqrt{2}\cos 47^\circ > 0\): число \(\sqrt{2}\cos 47^\circ\) принадлежит промежутку \((0;\ 1)\). Функция \(y = \cos x\) принимает все значения из промежутка \([-1;\ 1]\), поэтому данное равенство возможно.
2) Так как \(29^\circ < 30^\circ\), а функция \(y = \cos x\) убывает на промежутке \([0^\circ;\ 180^\circ]\), то \(\cos 29^\circ > \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и
\[\frac{2}{\sqrt{3}}\cos 29^\circ > \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1.\]
Наибольшее значение функции \(y = \sin x\) равно \(1\), поэтому данное равенство невозможно.
Ответ: 1) равенство возможно; 2) равенство невозможно.
1) \[3\sin\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right) = 3\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\right).\]
График строим из синусоиды тремя преобразованиями: сжатие к оси ординат в \(2\) раза, параллельный перенос вдоль оси абсцисс вправо на \(\frac{\pi}{3}\) единиц, растяжение от оси абсцисс в \(3\) раза.
Главный период равен \(\frac{2\pi}{2} = \pi\), область значений — промежуток \([-3;\ 3]\). Нули функции — числа вида \(x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2}\), \(n \in \mathbf{Z}\); наибольшее значение, равное \(3\), функция принимает в точках вида \(\frac{7\pi}{12} + \pi n\), наименьшее, равное \(-3\), — в точках вида \(\frac{\pi}{12} + \pi n\).
2) Выражение \(\sqrt{\cos x}\) имеет смысл при \(\cos x \geqslant 0\), поэтому область определения — объединение промежутков вида
\[\left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right],\ n \in \mathbf{Z}.\]
На каждом из этих промежутков \(\left(\sqrt{\cos x}\right)^2 = \cos x\), поэтому \(y = \cos x + \cos x = 2\cos x\).
График получается из косинусоиды растяжением от оси абсцисс в \(2\) раза, но состоит только из отдельных дуг — над указанными промежутками. Концы дуг — точки \(\left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ 0\right)\) и \(\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ 0\right)\) — графику принадлежат (в них функция определена и равна нулю), поэтому они изображаются залитыми точками; наибольшее значение, равное \(2\), функция принимает в точках вида \(x = 2\pi n\). Между этими промежутками графика нет: там функция не определена.
Длина данного промежутка равна \(\frac{11\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{6}\right) = 2\pi\), то есть равна главному периоду функции \(y = \sin x\); оба конца промежутку принадлежат. Чтобы сравнивать числа с концами промежутка, запишем их в шестых долях числа \(\pi\).
1) Нули функции \(y = \sin x\) — числа вида \(\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Данному промежутку принадлежат числа \(0\) и \(\pi = \frac{6\pi}{6}\), а числа \(-\pi = -\frac{6\pi}{6}\) и \(2\pi = \frac{12\pi}{6}\) ему не принадлежат: первое меньше левого конца, второе больше правого.
2) Наибольшее значение, равное \(1\), функция \(y = \sin x\) принимает в точках вида \(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Данному промежутку принадлежит только точка \(\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}\): точка \(\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{15\pi}{6}\) больше правого конца, а точка \(\frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{9\pi}{6}\) меньше левого.
Наименьшее значение, равное \(-1\), функция \(y = \sin x\) принимает в точках вида \(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Данному промежутку принадлежит только точка \(-\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}\): точка \(-\frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{6}\) меньше левого конца.
Ответ: 1) нули функции \(y = \sin x\) на данном промежутке — числа \(0\) и \(\pi\); 2) наибольшее значение функция принимает при \(x = \frac{\pi}{2}\), наименьшее — при \(x = \frac{3\pi}{2}\).
1) Оба числа больше \(2\pi\): \(\frac{17\pi}{8} = \frac{\pi}{8} + 2\pi\) и \(\frac{19\pi}{9} = \frac{\pi}{9} + 2\pi\). Так как \(2\pi\) — период функции \(y = \sin x\), то
\[\sin\frac{17\pi}{8} = \sin\frac{\pi}{8}, \quad \sin\frac{19\pi}{9} = \sin\frac{\pi}{9}.\]
Числа \(\frac{\pi}{9}\) и \(\frac{\pi}{8}\) принадлежат промежутку \(\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]\), на котором функция \(y = \sin x\) возрастает. Поскольку \(\frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{8}\), то \(\sin\frac{\pi}{9} < \sin\frac{\pi}{8}\).
Значит, \(\sin\frac{17\pi}{8} > \sin\frac{19\pi}{9}\).
2) Функция \(y = \cos x\) чётная, поэтому \(\cos(-3) = \cos 3\) и \(\cos(-2) = \cos 2\).
Числа \(2\) и \(3\) принадлежат промежутку \([0;\ \pi]\) (ведь \(\pi \approx 3{,}14\)), на котором функция \(y = \cos x\) убывает. Поскольку \(2 < 3\), то \(\cos 2 > \cos 3\).
Значит, \(\cos(-3) < \cos(-2)\).
Ответ: 1) \(\sin\frac{17\pi}{8} > \sin\frac{19\pi}{9}\); 2) \(\cos(-3) < \cos(-2)\).
1) Функция \(y = \cos x\) убывает на промежутке \([0^\circ;\ 180^\circ]\), а \(47^\circ > 45^\circ\), поэтому \(\cos 47^\circ < \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Отсюда
\[\sqrt{2}\cos 47^\circ < \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1.\]
Кроме того, \(47^\circ\) — угол первой четверти, поэтому \(\cos 47^\circ > 0\) и \(\sqrt{2}\cos 47^\circ > 0\). Значит, число \(\sqrt{2}\cos 47^\circ\) принадлежит промежутку \((0;\ 1)\). Функция \(y = \cos x\) принимает все значения из промежутка \([-1;\ 1]\), поэтому данное равенство возможно.
2) Так как \(29^\circ < 30^\circ\), а функция \(y = \cos x\) убывает на промежутке \([0^\circ;\ 180^\circ]\), то \(\cos 29^\circ > \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Отсюда
\[\frac{2}{\sqrt{3}}\cos 29^\circ > \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1.\]
Наибольшее значение функции \(y = \sin x\) равно \(1\), поэтому данное равенство невозможно.
Ответ: 1) равенство возможно; 2) равенство невозможно.
1) Вынесем множитель при переменной в аргументе синуса:
\[3\sin\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right) = 3\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\right).\]
График строим из синусоиды тремя преобразованиями: сжатие к оси ординат в \(2\) раза даёт график функции \(y = \sin 2x\); параллельный перенос вдоль оси абсцисс вправо на \(\frac{\pi}{3}\) единиц даёт график функции \(y = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\right)\); растяжение от оси абсцисс в \(3\) раза даёт искомый график.
Главный период полученной функции равен \(\frac{2\pi}{2} = \pi\), область значений — промежуток \([-3;\ 3]\). Нули функции — числа вида \(x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2}\), \(n \in \mathbf{Z}\); наибольшее значение, равное \(3\), функция принимает в точках вида \(\frac{7\pi}{12} + \pi n\), наименьшее, равное \(-3\), — в точках вида \(\frac{\pi}{12} + \pi n\).
2) Выражение \(\sqrt{\cos x}\) имеет смысл при \(\cos x \geqslant 0\), поэтому областью определения функции является объединение промежутков вида
\[\left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right],\ n \in \mathbf{Z}.\]
На каждом из этих промежутков \(\left(\sqrt{\cos x}\right)^2 = \cos x\), поэтому
\[y = \cos x + \cos x = 2\cos x.\]
График получается из косинусоиды растяжением от оси абсцисс в \(2\) раза, но состоит только из отдельных дуг — над указанными промежутками. Концы дуг — точки \(\left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ 0\right)\) и \(\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ 0\right)\) — графику принадлежат (в них функция определена и равна нулю), поэтому они изображаются залитыми точками; наибольшее значение, равное \(2\), функция принимает в точках вида \(x = 2\pi n\). Между этими промежутками графика нет: там функция не определена.
