Самостоятельная работа 10 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка
Показатель степени отрицателен, а число \(26\) — чётное натуральное, поэтому \(D(f) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\), функция чётная, возрастает на \((-\infty;\ 0)\) и убывает на \((0;\ +\infty)\).
1) На промежутке \((-\infty;\ 0)\) функция возрастает, и \(-3{,}9 < -2{,}5\), поэтому \(f(-3{,}9) < f(-2{,}5)\).
2) Функция чётная, поэтому \(f(-0{,}4) = f(0{,}4)\): сравниваемые значения равны.
3) На промежутке \((0;\ +\infty)\) функция убывает, и \(16 < 19\), поэтому \(f(19) < f(16)\).
4) По чётности \(f(-26) = f(26)\); на промежутке \((0;\ +\infty)\) функция убывает и \(3 < 26\), поэтому \(f(26) < f(3)\), значит, \(f(-26) < f(3)\).
Ответ: 1) \(f(-3{,}9) < f(-2{,}5)\); 2) \(f(0{,}4) = f(-0{,}4)\); 3) \(f(19) < f(16)\); 4) \(f(-26) < f(3)\).
1) Выражение \(\left(\sqrt{x} - 2\right)^0\) имеет смысл при \(x \geqslant 0\) и \(\sqrt{x} - 2 \ne 0\); равенство \(\sqrt{x} = 2\) выполняется при \(x = 4\), поэтому \(D(y) = [0;\ 4) \cup (4;\ +\infty)\) и на всей области определения \(y = 1\).
График — луч прямой \(y = 1\) вправо от точки \((0;\ 1)\) с выколотой точкой \((4;\ 1)\); сама точка \((0;\ 1)\) графику принадлежит.
2) Выражение \(\left(x^{-2}\right)^{-4}\) определено при \(x \ne 0\), поэтому \(D(y) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\); \(\left(x^{-2}\right)^{-4} = x^{(-2) \cdot (-4)} = x^{8}\), значит, на области определения \(y = x^8\).
График — график функции \(y = x^8\) с выколотой точкой \((0;\ 0)\): число \(0\) в область определения не входит.
1) Показатель \(-3\) отрицателен, а число \(3\) — нечётное натуральное, поэтому функция \(y = x^{-3}\) определена при \(x \ne 0\), отрицательна на \((-\infty;\ 0)\), положительна на \((0;\ +\infty)\) и убывает на каждом из них. У функции \(y = -x^{-3}\) знаки противоположные: ветвь при \(x < 0\) лежит во второй четверти, ветвь при \(x > 0\) — в четвёртой. Если числа \(x_1 < x_2\) лежат на одном из этих промежутков, то \(x_1^{-3} > x_2^{-3}\), а тогда \(-x_1^{-3} < -x_2^{-3}\): функция \(y = -x^{-3}\) на каждом из них возрастает. Прямая \(y = 2 - x\) проходит через точки \((0;\ 2)\) и \((2;\ 0)\), эта функция убывает.
На \((-\infty;\ 0)\) кривая возрастает, а прямая убывает, поэтому общих точек там не больше одной. Такая точка есть: при \(x = -1\) кривая даёт \(1\), а прямая \(3\) — кривая ниже прямой; при \(x = -0{,}5\) кривая даёт \(8\), а прямая \(2{,}5\) — кривая выше.
На \((0;\ +\infty)\) кривая тоже возрастает, а прямая убывает, поэтому и там общих точек не больше одной. На чертеже эта точка сливается с точкой \((2;\ 0)\), и её существование показывает счёт: при \(x = 2\) кривая даёт \(-\frac18\), а прямая \(0\) — кривая ниже прямой; при \(x = 2{,}5\) кривая даёт \(-0{,}064\), а прямая \(-0{,}5\) — кривая выше. Значит, между числами \(2\) и \(2{,}5\) графики пересекаются.
Всего у графиков две общие точки, поэтому система имеет два решения.
2) Число \(2\) — чётное натуральное, поэтому функция \(y = x^{-2}\) определена при \(x \ne 0\), принимает только положительные значения, возрастает на \((-\infty;\ 0)\) и убывает на \((0;\ +\infty)\); обе её ветви лежат выше оси абсцисс. Функция \(y = \sqrt{x + 2}\) определена при \(x \geqslant -2\), возрастает, её график выходит из точки \((-2;\ 0)\).
На \((0;\ +\infty)\) кривая убывает, а дуга возрастает, поэтому общих точек там не больше одной. Такая точка есть: при \(x = 0{,}5\) кривая даёт \(4\), а дуга \(\sqrt{2{,}5}\), и \(\sqrt{2{,}5} < 2\) — кривая выше; при \(x = 2\) кривая даёт \(0{,}25\), а дуга \(2\) — кривая ниже.
На промежутке \([-2;\ 0)\) общих точек две. Одна известна точно: при \(x = -1\) и кривая, и дуга дают \(1\), то есть точка \((-1;\ 1)\) — общая. Вторая на чертеже почти сливается с началом дуги, и её существование показывает счёт: при \(x = -2\) кривая даёт \(0{,}25\), а дуга \(0\) — кривая выше дуги; при \(x = -1{,}75\) кривая даёт \(\frac{1}{3{,}0625}\), а дуга \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), и \(\frac{1}{3{,}0625} < 0{,}5\) — кривая ниже дуги. Значит, между числами \(-2\) и \(-1{,}75\) графики пересекаются.
Всего у графиков три общие точки, поэтому система имеет три решения.
Ответ: 1) два решения; 2) три решения.
Функция \(f(x) = x^{-n}\), где \(n \in \mathbf{N}\), определена при \(x \ne 0\). При чётном \(n\) она чётная, возрастает на \((-\infty;\ 0)\) и убывает на \((0;\ +\infty)\); при нечётном \(n\) она нечётная и убывает на каждом из этих промежутков.
1) Числа \(-3\) и \(-2\) лежат на \((-\infty;\ 0)\). При чётном \(n\) функция там возрастает, и из \(-3 < -2\) следовало бы \(f(-3) < f(-2)\) — данное неравенство не выполнялось бы. При нечётном \(n\) функция там убывает, и из \(-3 < -2\) следует \(f(-3) > f(-2)\) — выполняется. Значит, число \(n\) нечётное.
2) При чётном \(n\): \(f(-3) = \frac{1}{(-3)^n} = \frac{1}{3^n}\) и \(f(2) = \frac{1}{2^n}\), а из \(3^n > 2^n\) следует \(\frac{1}{3^n} < \frac{1}{2^n}\) — неравенство \(f(-3) < f(2)\) выполняется. При нечётном \(n\): \(f(-3) = -\frac{1}{3^n} < 0\) и \(f(2) = \frac{1}{2^n} > 0\) — тоже выполняется. Например, при \(n = 1\) получаем \(-\frac13 < \frac12\), а при \(n = 2\) получаем \(\frac19 < \frac14\). Данное неравенство выполняется при любом натуральном \(n\), поэтому чётность числа \(n\) по нему определить невозможно.
3) Как в пункте 1), неравенство \(f(-3) < f(-2)\) выполняется при чётном \(n\) и не выполняется при нечётном. Значит, число \(n\) чётное.
4) При чётном \(n\): \(f(3) = \frac{1}{3^n}\) и \(f(-2) = \frac{1}{(-2)^n} = \frac{1}{2^n}\), а \(\frac{1}{3^n} < \frac{1}{2^n}\) — данное неравенство не выполняется. При нечётном \(n\): \(f(3) = \frac{1}{3^n} > 0\) и \(f(-2) = -\frac{1}{2^n} < 0\), поэтому \(f(3) > f(-2)\) — выполняется. Значит, число \(n\) нечётное.
Ответ: 1) число \(n\) нечётное; 2) чётность числа \(n\) определить невозможно: неравенство \(f(-3) < f(2)\) выполняется при любом натуральном \(n\); 3) число \(n\) чётное; 4) число \(n\) нечётное.
Показатель степени функции \(f(x) = x^{-26}\) — целое отрицательное число, а число \(26\) — чётное натуральное. Значит, областью определения функции служит множество \((-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\), функция чётная, возрастает на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и убывает на промежутке \((0;\ +\infty)\).
1) Числа \(-3{,}9\) и \(-2{,}5\) лежат на промежутке \((-\infty;\ 0)\), где функция возрастает, и \(-3{,}9 < -2{,}5\), поэтому \(f(-3{,}9) < f(-2{,}5)\).
2) Функция чётная, поэтому \(f(-0{,}4) = f(0{,}4)\): сравниваемые значения равны.
3) Числа \(16\) и \(19\) лежат на промежутке \((0;\ +\infty)\), где функция убывает, и \(16 < 19\), поэтому \(f(19) < f(16)\).
4) По чётности \(f(-26) = f(26)\). Числа \(3\) и \(26\) лежат на промежутке \((0;\ +\infty)\), где функция убывает, и \(3 < 26\), поэтому \(f(26) < f(3)\). Значит, \(f(-26) < f(3)\).
Ответ: 1) \(f(-3{,}9) < f(-2{,}5)\); 2) \(f(0{,}4) = f(-0{,}4)\); 3) \(f(19) < f(16)\); 4) \(f(-26) < f(3)\).
1) Выражение \(\left(\sqrt{x} - 2\right)^0\) имеет смысл тогда, когда определён квадратный корень и основание степени отлично от нуля: \(x \geqslant 0\) и \(\sqrt{x} - 2 \ne 0\). Равенство \(\sqrt{x} = 2\) выполняется при \(x = 4\), поэтому \(D(y) = [0;\ 4) \cup (4;\ +\infty)\). На всей области определения \(y = 1\).
График — луч прямой \(y = 1\), идущий вправо от точки \((0;\ 1)\), с выколотой точкой \((4;\ 1)\); сама точка \((0;\ 1)\) графику принадлежит.
2) Выражение \(\left(x^{-2}\right)^{-4}\) определено при \(x \ne 0\), поэтому \(D(y) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\). По свойству степени с целым показателем \(\left(x^{-2}\right)^{-4} = x^{(-2) \cdot (-4)} = x^{8}\), значит, на своей области определения \(y = x^8\).
График — график функции \(y = x^8\), из которого удалена точка \((0;\ 0)\): число \(0\) в область определения не входит, поэтому эта точка выколота.
1) Первое уравнение системы задаёт функцию \(y = -x^{-3}\). Показатель степени \(-3\) — целое отрицательное число, а число \(3\) — нечётное натуральное, поэтому функция \(y = x^{-3}\) определена при \(x \ne 0\), отрицательна на промежутке \((-\infty;\ 0)\), положительна на промежутке \((0;\ +\infty)\) и убывает на каждом из них. У функции \(y = -x^{-3}\) знаки значений противоположные: её ветвь при \(x < 0\) лежит во второй координатной четверти, ветвь при \(x > 0\) — в четвёртой. Если числа \(x_1 < x_2\) лежат на одном из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\), то \(x_1^{-3} > x_2^{-3}\), а тогда \(-x_1^{-3} < -x_2^{-3}\), то есть функция \(y = -x^{-3}\) на каждом из этих промежутков возрастает. Второе уравнение задаёт прямую \(y = 2 - x\), проходящую через точки \((0;\ 2)\) и \((2;\ 0)\); эта функция убывает.
На промежутке \((-\infty;\ 0)\) кривая возрастает, а прямая убывает, поэтому общих точек там не больше одной. Такая точка есть: при \(x = -1\) кривая даёт \(1\), а прямая \(3\) — кривая ниже прямой; при \(x = -0{,}5\) кривая даёт \(8\), а прямая \(2{,}5\) — кривая выше прямой.
На промежутке \((0;\ +\infty)\) кривая тоже возрастает, а прямая убывает, поэтому и там общих точек не больше одной. На чертеже эта точка сливается с точкой \((2;\ 0)\), и её существование показывает счёт: при \(x = 2\) кривая даёт \(-\frac18\), а прямая \(0\) — кривая ниже прямой; при \(x = 2{,}5\) кривая даёт \(-0{,}064\), а прямая \(-0{,}5\) — кривая выше прямой. Значит, между числами \(2\) и \(2{,}5\) графики пересекаются.
Всего у графиков две общие точки, поэтому система имеет два решения.
2) Первое уравнение системы задаёт функцию \(y = x^{-2}\). Число \(2\) — чётное натуральное, поэтому функция определена при \(x \ne 0\), принимает только положительные значения, возрастает на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и убывает на промежутке \((0;\ +\infty)\); обе её ветви лежат выше оси абсцисс. Второе уравнение задаёт функцию \(y = \sqrt{x + 2}\): она определена при \(x \geqslant -2\), возрастает, а её график выходит из точки \((-2;\ 0)\).
На промежутке \((0;\ +\infty)\) кривая убывает, а дуга возрастает, поэтому общих точек там не больше одной. Такая точка есть: при \(x = 0{,}5\) кривая даёт \(4\), а дуга \(\sqrt{2{,}5}\), и \(\sqrt{2{,}5} < 2\) — кривая выше; при \(x = 2\) кривая даёт \(0{,}25\), а дуга \(2\) — кривая ниже.
На промежутке \([-2;\ 0)\) чертёж показывает две общие точки. Одна из них известна точно: при \(x = -1\) и кривая, и дуга дают \(1\), то есть точка \((-1;\ 1)\) — общая. Вторая на чертеже почти сливается с началом дуги, и её существование показывает счёт: при \(x = -2\) кривая даёт \(0{,}25\), а дуга \(0\) — кривая выше дуги; при \(x = -1{,}75\) кривая даёт \(\frac{1}{3{,}0625}\), а дуга \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), и \(\frac{1}{3{,}0625} < 0{,}5\) — кривая ниже дуги. Значит, между числами \(-2\) и \(-1{,}75\) графики пересекаются.
Всего у графиков три общие точки, поэтому система имеет три решения.
Ответ: 1) два решения; 2) три решения.
Функция \(f(x) = x^{-n}\), где \(n \in \mathbf{N}\), определена при \(x \ne 0\). При чётном \(n\) она чётная, возрастает на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и убывает на промежутке \((0;\ +\infty)\); при нечётном \(n\) она нечётная и убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\).
1) Числа \(-3\) и \(-2\) лежат на промежутке \((-\infty;\ 0)\). Если бы число \(n\) было чётным, функция на этом промежутке возрастала бы, и из \(-3 < -2\) следовало бы \(f(-3) < f(-2)\), то есть данное неравенство не выполнялось бы. При нечётном \(n\) функция на этом промежутке убывает, и из \(-3 < -2\) следует \(f(-3) > f(-2)\) — данное неравенство выполняется. Значит, число \(n\) нечётное.
2) При чётном \(n\) имеем \(f(-3) = \frac{1}{(-3)^n} = \frac{1}{3^n}\) и \(f(2) = \frac{1}{2^n}\); так как \(3^n > 2^n\), то \(\frac{1}{3^n} < \frac{1}{2^n}\), и неравенство \(f(-3) < f(2)\) выполняется. При нечётном \(n\) имеем \(f(-3) = \frac{1}{(-3)^n} = -\frac{1}{3^n} < 0\) и \(f(2) = \frac{1}{2^n} > 0\), и неравенство \(f(-3) < f(2)\) тоже выполняется. Например, при \(n = 1\) получаем \(-\frac13 < \frac12\), а при \(n = 2\) получаем \(\frac19 < \frac14\) — оба неравенства верны. Данное неравенство выполняется при любом натуральном \(n\), поэтому чётность числа \(n\) по нему определить невозможно.
3) Как показано в пункте 1), неравенство \(f(-3) < f(-2)\) выполняется при чётном \(n\) и не выполняется при нечётном. Значит, число \(n\) чётное.
4) При чётном \(n\) имеем \(f(3) = \frac{1}{3^n}\) и \(f(-2) = \frac{1}{(-2)^n} = \frac{1}{2^n}\); так как \(\frac{1}{3^n} < \frac{1}{2^n}\), данное неравенство не выполняется. При нечётном \(n\) имеем \(f(3) = \frac{1}{3^n} > 0\) и \(f(-2) = -\frac{1}{2^n} < 0\), поэтому \(f(3) > f(-2)\) — данное неравенство выполняется. Значит, число \(n\) нечётное.
Ответ: 1) число \(n\) нечётное; 2) чётность числа \(n\) определить невозможно: неравенство \(f(-3) < f(2)\) выполняется при любом натуральном \(n\); 3) число \(n\) чётное; 4) число \(n\) нечётное.
