Самостоятельная работа 9 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Показатель степени функции \(f(x) = x^8\) — чётное натуральное число, поэтому функция \(f\) чётная, убывает на промежутке \((-\infty;\ 0]\) и возрастает на промежутке \([0;\ +\infty)\).

1) Числа \(2{,}4\) и \(3{,}8\) принадлежат промежутку \([0;\ +\infty)\), на котором функция возрастает. Так как \(2{,}4 < 3{,}8\), то \(f(2{,}4) < f(3{,}8)\).

2) Числа \(-8{,}7\) и \(-10{,}3\) принадлежат промежутку \((-\infty;\ 0]\), на котором функция убывает. Так как \(-10{,}3 < -8{,}7\), то \(f(-10{,}3) > f(-8{,}7)\), то есть \(f(-8{,}7) < f(-10{,}3)\).

3) Функция чётная, поэтому в противоположных точках она принимает равные значения: \(f(-9{,}6) = f(9{,}6)\).

4) Числа \(-0{,}8\) и \(0{,}4\) лежат по разные стороны от нуля, и одной монотонностью их сравнить нельзя. По чётности \(f(-0{,}8) = f(0{,}8)\). Числа \(0{,}4\) и \(0{,}8\) принадлежат промежутку \([0;\ +\infty)\), на котором функция возрастает, и \(0{,}4 < 0{,}8\), поэтому \(f(0{,}4) < f(0{,}8)\). Значит, \(f(-0{,}8) > f(0{,}4)\).

Ответ: 1) \(f(2{,}4) < f(3{,}8)\); 2) \(f(-8{,}7) < f(-10{,}3)\); 3) \(f(-9{,}6) = f(9{,}6)\); 4) \(f(-0{,}8) > f(0{,}4)\).

Корни уравнения — абсциссы общих точек графиков функций, записанных в левой и правой частях.

1) \(-x^8 = x - 4\).

Показатель степени функции \(y = x^8\) — чётное натуральное число, поэтому её график симметричен относительно оси ординат и наименьшее значение \(0\) она принимает при \(x = 0\). График функции \(y = -x^8\) симметричен ему относительно оси абсцисс: обе ветви направлены вниз, наибольшее значение \(0\) достигается при \(x = 0\). График функции \(y = x - 4\) — прямая. Построим оба графика в одной системе координат.

Вне промежутка \((-2;\ 2)\) общих точек нет: при \(|x| \geqslant 2\) выполняется \(|x|^7 \geqslant 128\), поэтому \(x^8 = |x| \cdot |x|^7 \geqslant 128|x| > |x| + 4 \geqslant 4 - x\) (неравенство \(128|x| > |x| + 4\) равносильно \(127|x| > 4\)), а значит, \(-x^8 < x - 4\) и кривая лежит ниже прямой. На промежутке \([0;\ 2]\) кривая убывает, а прямая возрастает, поэтому общих точек там не больше одной, и одна такая точка есть: при \(x = 0\) значение \(0\) больше значения \(-4\), а при \(x = 2\) значение \(-256\) меньше значения \(-2\). На промежутке \([-1;\ 0]\) значения кривой не меньше \(-1\), а значения прямой не больше \(-4\), поэтому общих точек нет. Остаётся промежуток \((-2;\ -1)\), и в нём кривая тоже переходит с одной стороны прямой на другую: при \(x = -2\) значение \(-256\) меньше значения \(-6\), а при \(x = -1\) значение \(-1\) больше значения \(-5\). Графики пересекаются в двух точках, значит, уравнение имеет два корня.

2) \(x^5 = 2x - 5\).

Показатель степени функции \(y = x^5\) — нечётное натуральное число, поэтому эта функция возрастающая, а её график симметричен относительно начала координат. График функции \(y = 2x - 5\) — прямая. Построим оба графика в одной системе координат.

При \(x \geqslant 0\) общих точек нет: если \(0 \leqslant x \leqslant 2\), то \(x^5 \geqslant 0\), а \(2x - 5 \leqslant -1\); если же \(x > 2\), то \(x^5 = x \cdot x^4 > 16x > 2x > 2x - 5\). При \(x \leqslant -2\) общих точек тоже нет: тогда \(x^5 = -|x| \cdot |x|^4 \leqslant -16|x| < -2|x| - 5 = 2x - 5\) (неравенство \(16|x| > 2|x| + 5\) равносильно \(14|x| > 5\)). Значит, все общие точки лежат в промежутке \((-2;\ 0)\), и в нём кривая переходит с одной стороны прямой на другую: при \(x = -2\) значение \(-32\) меньше значения \(-9\), а при \(x = 0\) значение \(0\) больше значения \(-5\). Графики пересекаются в одной точке, значит, уравнение имеет один корень.

Ответ: 1) два корня; 2) один корень.

Показатель \(n\) — натуральное число, поэтому возможны два случая. Если \(n\) — чётное число, то функция \(f(x) = x^n\) чётная, убывает на промежутке \((-\infty;\ 0]\) и возрастает на промежутке \([0;\ +\infty)\). Если \(n\) — нечётное число, то функция \(f\) возрастающая, причём \(f(x) < 0\) при \(x < 0\) и \(f(x) > 0\) при \(x > 0\).

1) \(f(-5) > f(-3)\). При нечётном \(n\) функция возрастающая, и из \(-5 < -3\) следует \(f(-5) < f(-3)\) — это противоречит условию. При чётном \(n\) числа \(-5\) и \(-3\) лежат на промежутке \((-\infty;\ 0]\), где функция убывает, поэтому из \(-5 < -3\) следует \(f(-5) > f(-3)\) — как и дано. Значит, показатель \(n\) — чётное число.

2) \(f(-5) < f(3)\). При чётном \(n\) по чётности \(f(-5) = f(5)\), а на промежутке \([0;\ +\infty)\) функция возрастает, поэтому из \(3 < 5\) следует \(f(3) < f(5) = f(-5)\) — это противоречит условию. При нечётном \(n\) функция возрастающая, и из \(-5 < 3\) следует \(f(-5) < f(3)\) — как и дано. Значит, показатель \(n\) — нечётное число.

3) \(f(-5) < f(-3)\). При чётном \(n\) на промежутке \((-\infty;\ 0]\) функция убывает, и из \(-5 < -3\) следует \(f(-5) > f(-3)\) — это противоречит условию. При нечётном \(n\) функция возрастающая, и из \(-5 < -3\) следует \(f(-5) < f(-3)\) — как и дано. Значит, показатель \(n\) — нечётное число.

4) \(f(-5) > f(3)\). При нечётном \(n\) значение \(f(-5)\) отрицательно, а значение \(f(3)\) положительно, поэтому \(f(-5) < f(3)\) — это противоречит условию. При чётном \(n\) имеем \(f(-5) = f(5)\), а из \(3 < 5\) и возрастания функции на промежутке \([0;\ +\infty)\) следует \(f(3) < f(5) = f(-5)\) — как и дано. Значит, показатель \(n\) — чётное число.

Ответ: показатель \(n\) — 1) чётное число; 2) нечётное число; 3) нечётное число; 4) чётное число.

Показатели степеней \(10\) и \(6\) — чётные числа, поэтому при любом \(x\) выполняются равенства \((-x)^{10} = x^{10}\) и \((-x)^{6} = x^{6}\): в точках \(x\) и \(-x\) левая часть уравнения принимает равные значения.

При \(x = 1\) получаем верное равенство \(5 \cdot 1^{10} + 3 \cdot 1^{6} = 5 + 3 = 8\), значит, число \(1\) — корень уравнения.

Других неотрицательных корней нет. Пусть \(0 \leqslant x_1 < x_2\). По свойству числовых неравенств \(x_1^{10} < x_2^{10}\) и \(x_1^{6} < x_2^{6}\), поэтому \(5x_1^{10} + 3x_1^{6} < 5x_2^{10} + 3x_2^{6}\). Значит, разным неотрицательным значениям аргумента отвечают разные значения левой части, и на промежутке \([0;\ +\infty)\) уравнение имеет единственный корень \(x = 1\).

Если \(x < 0\), то число \(-x\) положительно, а значения левой части в точках \(x\) и \(-x\) равны. Поэтому отрицательное число \(x\) — корень уравнения тогда и только тогда, когда корнем является число \(-x\), то есть только при \(-x = 1\). Значит, на промежутке \((-\infty;\ 0)\) уравнение имеет единственный корень \(x = -1\).

Проверка: \(5 \cdot (-1)^{10} + 3 \cdot (-1)^{6} = 5 + 3 = 8\).

Ответ: \(-1\); \(1\).