ГДЗ 10 класс Алгебра Мерзляк - самостоятельные и контрольные работы

10класс

Самостоятельная работа 10 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Самостоятельные работы. С-10. Степенная функция с целым показателем. Самостоятельная работа 10 Вариант 1

Решение:

1. Дана функция \(f(x) = x^{-32}\). Сравните: 1) \(f(7{,}2)\) и \(f(6{,}5)\); 2) \(f(-1{,}5)\) и \(f(-1{,}8)\); 3) \(f(42)\) и \(f(-42)\); 4) \(f(-10)\) и \(f(6)\).

Показатель \(-32\) отрицательный, а число \(32\) чётное, поэтому функция \(f\) определена при всех \(x \ne 0\), она чётная, возрастает на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и убывает на промежутке \((0;\ +\infty)\).

1) Числа \(7{,}2\) и \(6{,}5\) лежат на промежутке убывания, и \(6{,}5 < 7{,}2\), поэтому \(f(7{,}2) < f(6{,}5)\).

2) Числа \(-1{,}5\) и \(-1{,}8\) лежат на промежутке возрастания, и \(-1{,}8 < -1{,}5\), поэтому \(f(-1{,}5) > f(-1{,}8)\).

3) По чётности \(f(42) = f(-42)\).

4) По чётности \(f(-10) = f(10)\), а из \(6 < 10\) и убывания на промежутке \((0;\ +\infty)\) следует \(f(10) < f(6)\), значит, \(f(-10) < f(6)\).

Ответ: 1) \(f(7{,}2) < f(6{,}5)\); 2) \(f(-1{,}5) > f(-1{,}8)\); 3) \(f(42) = f(-42)\); 4) \(f(-10) < f(6)\).

2. Постройте график функции: 1) \(y = (\sqrt{x} - 1)^0\); 2) \(y = (x^{-2})^{-2}\).

1) \(y = \left(\sqrt{x} - 1\right)^0\). Выражение \(\sqrt{x}\) имеет смысл при \(x \geqslant 0\), а нулевая степень определена только при основании, отличном от нуля, поэтому \(\sqrt{x} \ne 1\) и \(x \ne 1\). Область определения — множество \([0;\ 1) \cup (1;\ +\infty)\), и в каждой его точке \(y = 1\): график — луч \(y = 1\) с началом в точке \((0;\ 1)\) (залитая точка) без точки \((1;\ 1)\) (пустой кружок).

график

2) \(y = \left(x^{-2}\right)^{-2}\). Выражение \(x^{-2}\) имеет смысл при \(x \ne 0\), поэтому область определения — множество \((-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\). При \(x \ne 0\) имеем \(\left(x^{-2}\right)^{-2} = x^{(-2) \cdot (-2)} = x^4\), поэтому график — кривая \(y = x^4\) с выколотой точкой \((0;\ 0)\): упрощение выражения область определения не расширяет.

график

3. Определите графически количество решений системы уравнений: 1) \(\begin{cases} y = -x^{-5}, \\ y = 3 - x; \end{cases}\) 2) \(\begin{cases} y = x^{-4}, \\ y = \sqrt{x - 3}. \end{cases}\)

Решения системы — координаты общих точек графиков её уравнений.

1) Кривая \(y = -x^{-5}\) симметрична кривой \(y = x^{-5}\) относительно оси абсцисс: ветви лежат во второй и четвёртой четвертях, функция определена при \(x \ne 0\) и возрастает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\). График функции \(y = 3 - x\) — прямая.

график

На промежутке \((-\infty;\ 0)\) кривая возрастает, а прямая убывает, поэтому общих точек не больше одной, и одна такая точка есть: при \(x = -1\) значение \(1\) меньше значения \(4\), при \(x = -0{,}5\) значение \(32\) больше значения \(3{,}5\).

На промежутке \((0;\ +\infty)\) кривая тоже возрастает, а прямая убывает, поэтому и здесь общих точек не больше одной; одна такая точка есть, хотя и лежит совсем близко к точке \((3;\ 0)\): при \(x = 3\) значение \(-\frac{1}{243}\) меньше значения \(0\), при \(x = 4\) значение \(-\frac{1}{1024}\) больше значения \(-1\).

Общих точек ровно две — система имеет два решения.

2) Функция \(y = x^{-4}\) определена при \(x \ne 0\), положительна, возрастает на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и убывает на промежутке \((0;\ +\infty)\). Функция \(y = \sqrt{x - 3}\) определена при \(x \geqslant 3\) и возрастает.

график

Общие точки возможны только при \(x \geqslant 3\), где первая функция убывает, а вторая возрастает, поэтому их не больше одной; одна такая точка есть, хотя и лежит совсем близко к точке \((3;\ 0)\): при \(x = 3\) значение \(\frac{1}{81}\) больше значения \(0\), при \(x = 4\) значение \(\frac{1}{256}\) меньше значения \(1\).

Общая точка ровно одна — система имеет одно решение.

Ответ: 1) два решения; 2) одно решение.

4. Чётным или нечётным является натуральное число \(n\) в показателе степени функции \(f(x) = x^{-n}\), если: 1) \(f(-12) < f(-16)\); 2) \(f(-12) < f(16)\); 3) \(f(-12) > f(-16)\); 4) \(f(16) < f(12)\)?

При чётном \(n\) функция \(f(x) = x^{-n}\) чётная, принимает только положительные значения, возрастает на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и убывает на промежутке \((0;\ +\infty)\); при нечётном \(n\) функция нечётная, убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\), причём \(f(x) < 0\) при \(x < 0\) и \(f(x) > 0\) при \(x > 0\).

1) При чётном \(n\) на промежутке \((-\infty;\ 0)\) функция возрастает, и из \(-16 < -12\) следует \(f(-16) < f(-12)\) — противоречие. При нечётном \(n\) на этом промежутке функция убывает, и \(f(-16) > f(-12)\) — как и дано, значит, число \(n\) нечётное.

2) При чётном \(n\) имеем \(f(-12) = f(12)\), а из \(12 < 16\) и убывания на промежутке \((0;\ +\infty)\) следует \(f(16) < f(12) = f(-12)\) — противоречие. При нечётном \(n\) значение \(f(-12)\) отрицательно, а значение \(f(16)\) положительно, поэтому \(f(-12) < f(16)\) — как и дано, значит, число \(n\) нечётное.

3) При нечётном \(n\) на промежутке \((-\infty;\ 0)\) функция убывает, и из \(-16 < -12\) следует \(f(-16) > f(-12)\) — противоречие. При чётном \(n\) на этом промежутке функция возрастает, и \(f(-16) < f(-12)\) — как и дано, значит, число \(n\) чётное.

4) На промежутке \((0;\ +\infty)\) функция \(f(x) = x^{-n}\) убывает при любом натуральном \(n\), поэтому из \(12 < 16\) следует \(f(16) < f(12)\) и при чётном, и при нечётном показателе: при \(n = 1\) имеем \(f(16) = \frac{1}{16} < \frac{1}{12} = f(12)\), при \(n = 2\) имеем \(f(16) = \frac{1}{256} < \frac{1}{144} = f(12)\). По этому условию чётность числа \(n\) определить невозможно.

Ответ: 1) число \(n\) нечётное; 2) число \(n\) нечётное; 3) число \(n\) чётное; 4) чётность числа \(n\) определить невозможно.

Решение:

1. Дана функция \(f(x) = x^{-32}\). Сравните: 1) \(f(7{,}2)\) и \(f(6{,}5)\); 2) \(f(-1{,}5)\) и \(f(-1{,}8)\); 3) \(f(42)\) и \(f(-42)\); 4) \(f(-10)\) и \(f(6)\).

Показатель степени функции \(f(x) = x^{-32}\) — целое отрицательное число, причём \(32\) — чётное натуральное число. Поэтому функция \(f\) определена при всех \(x \ne 0\), она чётная, возрастает на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и убывает на промежутке \((0;\ +\infty)\).

1) Числа \(7{,}2\) и \(6{,}5\) принадлежат промежутку \((0;\ +\infty)\), на котором функция убывает. Так как \(6{,}5 < 7{,}2\), то \(f(6{,}5) > f(7{,}2)\), то есть \(f(7{,}2) < f(6{,}5)\).

2) Числа \(-1{,}5\) и \(-1{,}8\) принадлежат промежутку \((-\infty;\ 0)\), на котором функция возрастает. Так как \(-1{,}8 < -1{,}5\), то \(f(-1{,}8) < f(-1{,}5)\), то есть \(f(-1{,}5) > f(-1{,}8)\).

3) Функция чётная, поэтому в противоположных точках она принимает равные значения: \(f(42) = f(-42)\).

4) Числа \(-10\) и \(6\) лежат по разные стороны от нуля, и одной монотонностью их сравнить нельзя. По чётности \(f(-10) = f(10)\). Числа \(6\) и \(10\) принадлежат промежутку \((0;\ +\infty)\), на котором функция убывает, и \(6 < 10\), поэтому \(f(10) < f(6)\). Значит, \(f(-10) < f(6)\).

Ответ: 1) \(f(7{,}2) < f(6{,}5)\); 2) \(f(-1{,}5) > f(-1{,}8)\); 3) \(f(42) = f(-42)\); 4) \(f(-10) < f(6)\).

2. Постройте график функции: 1) \(y = (\sqrt{x} - 1)^0\); 2) \(y = (x^{-2})^{-2}\).

1) \(y = \left(\sqrt{x} - 1\right)^0\).

Выражение \(\sqrt{x}\) имеет смысл при \(x \geqslant 0\), а нулевая степень определена только при основании, отличном от нуля, поэтому \(\sqrt{x} - 1 \ne 0\), откуда \(\sqrt{x} \ne 1\) и \(x \ne 1\). Область определения функции — множество \([0;\ 1) \cup (1;\ +\infty)\), и в каждой его точке \(y = 1\). Построим график: это луч \(y = 1\) с началом в точке \((0;\ 1)\), из которого выброшена точка \((1;\ 1)\). Начало луча графику принадлежит (залитая точка), точка \((1;\ 1)\) — не принадлежит (пустой кружок).

график

2) \(y = \left(x^{-2}\right)^{-2}\).

Выражение \(x^{-2}\) имеет смысл при \(x \ne 0\), поэтому область определения функции — множество \((-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\). При \(x \ne 0\) по свойству степени с целым показателем \(\left(x^{-2}\right)^{-2} = x^{(-2) \cdot (-2)} = x^4\). Построим график: это график функции \(y = x^4\) с чётным натуральным показателем, из которого выброшена точка \((0;\ 0)\), — упрощение выражения область определения не расширяет.

график

Решения системы — координаты общих точек графиков функций, записанных в её уравнениях.

1) Показатель степени функции \(y = x^{-5}\) — целое отрицательное число, причём \(5\) — нечётное натуральное число. Поэтому эта функция определена при \(x \ne 0\), она нечётная и убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\). График функции \(y = -x^{-5}\) симметричен её графику относительно оси абсцисс: его ветви лежат во второй и четвёртой координатных четвертях, а сама функция возрастает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\). График функции \(y = 3 - x\) — прямая. Построим оба графика в одной системе координат.

график

На промежутке \((-\infty;\ 0)\) кривая задаёт возрастающую функцию, а прямая — убывающую, поэтому общих точек здесь не больше одной. Одна такая точка есть: при \(x = -1\) значение \(1\) меньше значения \(4\), а при \(x = -0{,}5\) значение \(32\) больше значения \(3{,}5\), то есть между \(-1\) и \(-0{,}5\) кривая переходит с одной стороны прямой на другую. На промежутке \((0;\ +\infty)\) снова кривая возрастает, а прямая убывает, и общих точек здесь не больше одной. Одна такая точка есть, хотя она и лежит совсем близко к точке \((3;\ 0)\): при \(x = 3\) значение \(-\frac{1}{243}\) меньше значения \(0\), а при \(x = 4\) значение \(-\frac{1}{1024}\) больше значения \(-1\). Значит, у графиков ровно две общие точки, и система имеет два решения.

2) Показатель степени функции \(y = x^{-4}\) — целое отрицательное число, причём \(4\) — чётное натуральное число. Поэтому эта функция определена при \(x \ne 0\), принимает только положительные значения, возрастает на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и убывает на промежутке \((0;\ +\infty)\). Функция \(y = \sqrt{x - 3}\) определена при \(x \geqslant 3\); чем больше \(x\), тем больше \(x - 3\) и тем больше \(\sqrt{x - 3}\), поэтому она возрастает. Построим оба графика в одной системе координат.

график

Общая точка может лежать только там, где определены обе функции, то есть при \(x \geqslant 3\). На этом промежутке первая функция убывает, а вторая возрастает, поэтому общих точек не больше одной. Одна такая точка есть, хотя она и лежит совсем близко к точке \((3;\ 0)\): при \(x = 3\) значение \(\frac{1}{81}\) больше значения \(0\), а при \(x = 4\) значение \(\frac{1}{256}\) меньше значения \(1\). Значит, у графиков ровно одна общая точка, и система имеет одно решение.

Ответ: 1) два решения; 2) одно решение.

Число \(n\) — натуральное, поэтому возможны два случая. Если \(n\) — чётное число, то функция \(f(x) = x^{-n}\) чётная, принимает только положительные значения, возрастает на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и убывает на промежутке \((0;\ +\infty)\). Если \(n\) — нечётное число, то функция \(f\) нечётная, убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\), причём \(f(x) < 0\) при \(x < 0\) и \(f(x) > 0\) при \(x > 0\).

1) \(f(-12) < f(-16)\). При чётном \(n\) на промежутке \((-\infty;\ 0)\) функция возрастает, и из \(-16 < -12\) следует \(f(-16) < f(-12)\) — это противоречит условию. При нечётном \(n\) на этом промежутке функция убывает, и из \(-16 < -12\) следует \(f(-16) > f(-12)\) — как и дано. Значит, число \(n\) — нечётное.

2) \(f(-12) < f(16)\). При чётном \(n\) по чётности \(f(-12) = f(12)\), а на промежутке \((0;\ +\infty)\) функция убывает, поэтому из \(12 < 16\) следует \(f(16) < f(12) = f(-12)\) — это противоречит условию. При нечётном \(n\) значение \(f(-12)\) отрицательно, а значение \(f(16)\) положительно, поэтому \(f(-12) < f(16)\) — как и дано. Значит, число \(n\) — нечётное.

3) \(f(-12) > f(-16)\). При нечётном \(n\) на промежутке \((-\infty;\ 0)\) функция убывает, и из \(-16 < -12\) следует \(f(-16) > f(-12)\) — это противоречит условию. При чётном \(n\) на этом промежутке функция возрастает, и из \(-16 < -12\) следует \(f(-16) < f(-12)\) — как и дано. Значит, число \(n\) — чётное.

4) \(f(16) < f(12)\). На промежутке \((0;\ +\infty)\) функция \(f(x) = x^{-n}\) убывает при любом натуральном \(n\), поэтому из \(12 < 16\) следует \(f(16) < f(12)\) и при чётном, и при нечётном показателе: условие выполняется в обоих случаях. Например, при \(n = 1\) имеем \(f(16) = \frac{1}{16} < \frac{1}{12} = f(12)\), а при \(n = 2\) имеем \(f(16) = \frac{1}{256} < \frac{1}{144} = f(12)\). Значит, по этому условию чётность числа \(n\) определить невозможно.