Самостоятельная работа 9 Вариант 2, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Показатель степени функции \(g(x) = x^{12}\) — чётное натуральное число, поэтому функция \(g\) чётная, убывает на промежутке \((-\infty;\ 0]\) и возрастает на промежутке \([0;\ +\infty)\).

1) Числа \(5{,}8\) и \(4{,}9\) принадлежат промежутку \([0;\ +\infty)\), на котором функция возрастает. Так как \(4{,}9 < 5{,}8\), то \(g(4{,}9) < g(5{,}8)\), то есть \(g(5{,}8) > g(4{,}9)\).

2) Числа \(-12{,}3\) и \(-15{,}1\) принадлежат промежутку \((-\infty;\ 0]\), на котором функция убывает. Так как \(-15{,}1 < -12{,}3\), то \(g(-15{,}1) > g(-12{,}3)\), то есть \(g(-12{,}3) < g(-15{,}1)\).

3) Функция чётная, поэтому в противоположных точках она принимает равные значения: \(g(-0{,}3) = g(0{,}3)\).

4) Числа \(1{,}4\) и \(-2{,}1\) лежат по разные стороны от нуля, и одной монотонностью их сравнить нельзя. По чётности \(g(-2{,}1) = g(2{,}1)\). Числа \(1{,}4\) и \(2{,}1\) принадлежат промежутку \([0;\ +\infty)\), на котором функция возрастает, и \(1{,}4 < 2{,}1\), поэтому \(g(1{,}4) < g(2{,}1)\). Значит, \(g(1{,}4) < g(-2{,}1)\).

Ответ: 1) \(g(5{,}8) > g(4{,}9)\); 2) \(g(-12{,}3) < g(-15{,}1)\); 3) \(g(-0{,}3) = g(0{,}3)\); 4) \(g(1{,}4) < g(-2{,}1)\).

Корни уравнения — абсциссы общих точек графиков функций, записанных в левой и правой частях.

1) \(x^4 = x + 5\).

Показатель степени функции \(y = x^4\) — чётное натуральное число, поэтому её график симметричен относительно оси ординат, наименьшее значение \(0\) достигается при \(x = 0\), на промежутке \((-\infty;\ 0]\) функция убывает, а на промежутке \([0;\ +\infty)\) возрастает. График функции \(y = x + 5\) — прямая. Построим оба графика в одной системе координат.

Вне промежутка \((-2;\ 2)\) общих точек нет: при \(|x| \geqslant 2\) выполняется \(|x|^3 \geqslant 8\), поэтому \(x^4 = |x| \cdot |x|^3 \geqslant 8|x| > |x| + 5 \geqslant x + 5\) (неравенство \(8|x| > |x| + 5\) равносильно \(7|x| > 5\)), то есть кривая лежит выше прямой. На промежутке \([-2;\ 0]\) кривая убывает, а прямая возрастает, поэтому общих точек там не больше одной, и одна такая точка есть: при \(x = -2\) значение \(16\) больше значения \(3\), а при \(x = 0\) значение \(0\) меньше значения \(5\). Ещё одна общая точка лежит в промежутке \((0;\ 2)\): при \(x = 2\) значение \(16\) снова больше значения \(7\). Графики пересекаются в двух точках, значит, уравнение имеет два корня.

2) \(-x^5 = 5 - x\).

Показатель степени функции \(y = x^5\) — нечётное натуральное число, поэтому эта функция возрастающая. График функции \(y = -x^5\) симметричен её графику относительно оси абсцисс, поэтому функция \(y = -x^5\) убывающая. График функции \(y = 5 - x\) — прямая, задающая тоже убывающую функцию, так что из монотонности число общих точек не следует. Построим оба графика в одной системе координат.

При \(x \geqslant 0\) общих точек нет: если \(0 \leqslant x \leqslant 1\), то \(-x^5 \leqslant 0\), а \(5 - x \geqslant 4\); если же \(x > 1\), то \(x^5 > x\), поэтому \(-x^5 < -x < 5 - x\). При \(x \leqslant -2\) общих точек тоже нет: тогда \(-x^5 = |x| \cdot |x|^4 \geqslant 16|x| > |x| + 5 = 5 - x\) (неравенство \(16|x| > |x| + 5\) равносильно \(15|x| > 5\)), то есть кривая лежит выше прямой. Значит, все общие точки лежат в промежутке \((-2;\ 0)\), и в нём кривая переходит с одной стороны прямой на другую: при \(x = -2\) значение \(32\) больше значения \(7\), а при \(x = 0\) значение \(0\) меньше значения \(5\). Графики пересекаются в одной точке, значит, уравнение имеет один корень.

Ответ: 1) два корня; 2) один корень.

Показатель \(n\) — натуральное число, поэтому возможны два случая. Если \(n\) — чётное число, то функция \(f(x) = x^n\) чётная, убывает на промежутке \((-\infty;\ 0]\) и возрастает на промежутке \([0;\ +\infty)\). Если \(n\) — нечётное число, то функция \(f\) возрастающая, причём \(f(x) < 0\) при \(x < 0\) и \(f(x) > 0\) при \(x > 0\).

1) \(f(-7) > f(-1)\). При нечётном \(n\) функция возрастающая, и из \(-7 < -1\) следует \(f(-7) < f(-1)\) — это противоречит условию. При чётном \(n\) числа \(-7\) и \(-1\) лежат на промежутке \((-\infty;\ 0]\), где функция убывает, поэтому из \(-7 < -1\) следует \(f(-7) > f(-1)\) — как и дано. Значит, показатель \(n\) — чётное число.

2) \(f(-7) > f(1)\). При нечётном \(n\) значение \(f(-7)\) отрицательно, а значение \(f(1)\) положительно, поэтому \(f(-7) < f(1)\) — это противоречит условию. При чётном \(n\) имеем \(f(-7) = f(7)\), а из \(1 < 7\) и возрастания функции на промежутке \([0;\ +\infty)\) следует \(f(1) < f(7) = f(-7)\) — как и дано. Значит, показатель \(n\) — чётное число.

3) \(f(-7) < f(-1)\). При чётном \(n\) на промежутке \((-\infty;\ 0]\) функция убывает, и из \(-7 < -1\) следует \(f(-7) > f(-1)\) — это противоречит условию. При нечётном \(n\) функция возрастающая, и из \(-7 < -1\) следует \(f(-7) < f(-1)\) — как и дано. Значит, показатель \(n\) — нечётное число.

4) \(f(-7) < f(1)\). При чётном \(n\) по чётности \(f(-7) = f(7)\), а на промежутке \([0;\ +\infty)\) функция возрастает, поэтому из \(1 < 7\) следует \(f(1) < f(7) = f(-7)\) — это противоречит условию. При нечётном \(n\) функция возрастающая, и из \(-7 < 1\) следует \(f(-7) < f(1)\) — как и дано. Значит, показатель \(n\) — нечётное число.

Ответ: показатель \(n\) — 1) чётное число; 2) чётное число; 3) нечётное число; 4) нечётное число.

Показатели степеней \(18\) и \(2\) — чётные числа, поэтому при любом \(x\) выполняются равенства \((-x)^{18} = x^{18}\) и \((-x)^{2} = x^{2}\): в точках \(x\) и \(-x\) левая часть уравнения принимает равные значения.

При \(x = 1\) получаем верное равенство \(4 \cdot 1^{18} + 7 \cdot 1^{2} = 4 + 7 = 11\), значит, число \(1\) — корень уравнения.

Других неотрицательных корней нет. Пусть \(0 \leqslant x_1 < x_2\). По свойству числовых неравенств \(x_1^{18} < x_2^{18}\) и \(x_1^{2} < x_2^{2}\), поэтому \(4x_1^{18} + 7x_1^{2} < 4x_2^{18} + 7x_2^{2}\). Значит, разным неотрицательным значениям аргумента отвечают разные значения левой части, и на промежутке \([0;\ +\infty)\) уравнение имеет единственный корень \(x = 1\).

Если \(x < 0\), то число \(-x\) положительно, а значения левой части в точках \(x\) и \(-x\) равны. Поэтому отрицательное число \(x\) — корень уравнения тогда и только тогда, когда корнем является число \(-x\), то есть только при \(-x = 1\). Значит, на промежутке \((-\infty;\ 0)\) уравнение имеет единственный корень \(x = -1\).

Проверка: \(4 \cdot (-1)^{18} + 7 \cdot (-1)^{2} = 4 + 7 = 11\).

Ответ: \(-1\); \(1\).