Самостоятельная работа 9 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Показатель степени \(18\) — чётное натуральное число, поэтому функция \(f\) чётная, убывает на промежутке \((-\infty;\ 0]\) и возрастает на промежутке \([0;\ +\infty)\).

1) Числа \(3{,}2\) и \(3{,}6\) принадлежат промежутку \([0;\ +\infty)\), на котором функция возрастает, и \(3{,}2 < 3{,}6\), поэтому \(f(3{,}2) < f(3{,}6)\).

2) Числа \(-8{,}3\) и \(-7{,}4\) принадлежат промежутку \((-\infty;\ 0]\), на котором функция убывает, и \(-8{,}3 < -7{,}4\), поэтому \(f(-8{,}3) > f(-7{,}4)\), то есть \(f(-7{,}4) < f(-8{,}3)\).

3) Функция чётная, поэтому \(f(-9{,}5) = f(9{,}5)\).

4) По чётности \(f(-4{,}1) = f(4{,}1)\). Числа \(3{,}8\) и \(4{,}1\) принадлежат промежутку \([0;\ +\infty)\), на котором функция возрастает, и \(3{,}8 < 4{,}1\), поэтому \(f(3{,}8) < f(4{,}1)\), то есть \(f(-4{,}1) > f(3{,}8)\).

Ответ: 1) \(f(3{,}2) < f(3{,}6)\); 2) \(f(-7{,}4) < f(-8{,}3)\); 3) \(f(-9{,}5) = f(9{,}5)\); 4) \(f(-4{,}1) > f(3{,}8)\).

Корни уравнения — абсциссы общих точек графиков функций, стоящих в его левой и правой частях.

1) Построим в одной системе координат графики функций \(y = -x^4\) и \(y = 2x - 1\).

Показатель \(4\) чётный, поэтому функция \(y = x^4\) убывает на промежутке \((-\infty;\ 0]\) и возрастает на промежутке \([0;\ +\infty)\); значит, функция \(y = -x^4\) возрастает на \((-\infty;\ 0]\) и убывает на \([0;\ +\infty)\), а её наибольшее значение, равное нулю, достигается при \(x = 0\). Функция \(y = 2x - 1\) возрастающая.

На промежутке \([0;\ +\infty)\) первая функция убывает, а вторая возрастает, поэтому общих точек здесь не больше одной. Такая точка есть: при \(x = 0\) имеем \(-x^4 = 0\) и \(2x - 1 = -1\) — кривая выше прямой, а при \(x = 0{,}5\) имеем \(-x^4 = -0{,}0625\) и \(2x - 1 = 0\) — кривая ниже прямой. Значит, общая точка лежит на промежутке \((0;\ 0{,}5)\).

На промежутке \([-1;\ 0)\) общих точек нет: там \(-x^4 \geqslant -1\), а \(2x - 1 < -1\).

При \(x = -1\) имеем \(-x^4 = -1\) и \(2x - 1 = -3\) — кривая выше прямой; при \(x = -2\) имеем \(-x^4 = -16\) и \(2x - 1 = -5\) — кривая ниже прямой. Значит, на промежутке \((-2;\ -1)\) графики имеют общую точку.

Здесь она единственная. Если бы общих точек с абсциссами из промежутка \((-2;\ -1)\) было две, \(x_1 < x_2\), то для чисел \(t_1 = -x_1\) и \(t_2 = -x_2\), где \(1 < t_2 < t_1 < 2\), равенства \(-x_1^4 = 2x_1 - 1\) и \(-x_2^4 = 2x_2 - 1\) приняли бы вид \(t_1^4 = 2t_1 + 1\) и \(t_2^4 = 2t_2 + 1\), откуда \(t_1^4 - t_2^4 = 2(t_1 - t_2)\). Но \(t_1^4 - t_2^4 = (t_1 - t_2)\left(t_1^3 + t_1^2t_2 + t_1t_2^2 + t_2^3\right)\), где каждое из четырёх слагаемых второй скобки больше \(1\), поэтому \(t_1^4 - t_2^4 > 4(t_1 - t_2) > 2(t_1 - t_2)\) — противоречие.

Левее числа \(-2\) общих точек нет. Действительно, при \(x \leqslant -2\) положим \(t = -x\); тогда \(t \geqslant 2\), неравенство \(-x^4 < 2x - 1\) принимает вид \(t^4 > 2t + 1\), а \(t^4 = t^3 \cdot t \geqslant 8t > 2t + 1\).

Всего графики имеют две общие точки.

2) Построим в одной системе координат графики функций \(y = x^7\) и \(y = 3 - x\).

Показатель \(7\) нечётный, поэтому функция \(y = x^7\) возрастающая; функция \(y = 3 - x\) убывающая. Общих точек у графиков возрастающей и убывающей функций не больше одной: если бы точек было две, с абсциссами \(x_1 < x_2\), то одновременно выполнялись бы неравенства \(x_1^7 < x_2^7\) и \(3 - x_1 > 3 - x_2\), что несовместимо с равенствами \(x_1^7 = 3 - x_1\) и \(x_2^7 = 3 - x_2\).

Такая точка есть: при \(x = 1\) имеем \(x^7 = 1\) и \(3 - x = 2\) — кривая ниже прямой, а при \(x = 2\) имеем \(x^7 = 128\) и \(3 - x = 1\) — кривая выше прямой. Значит, общая точка лежит на промежутке \((1;\ 2)\).

Всего графики имеют одну общую точку.

Ответ: 1) уравнение \(-x^4 = 2x - 1\) имеет два корня; 2) уравнение \(x^7 = 3 - x\) имеет один корень.

Пусть \(f(x) = x^n\), где \(n\) — натуральное число.

Если \(n\) чётное, функция чётная, убывает на промежутке \((-\infty;\ 0]\) и возрастает на промежутке \([0;\ +\infty)\). Если \(n\) нечётное, функция возрастающая, причём \(f(x) < 0\) при \(x < 0\) и \(f(x) > 0\) при \(x > 0\).

1) Пусть \(n\) чётное. На промежутке \((-\infty;\ 0]\) функция убывает, поэтому из \(-8 < -3\) следует \(f(-8) > f(-3)\) — условие \(f(-8) < f(-3)\) не выполняется. Пусть \(n\) нечётное. Функция возрастающая, поэтому из \(-8 < -3\) следует \(f(-8) < f(-3)\) — условие выполняется. Значит, показатель \(n\) — нечётное число.

2) Пусть \(n\) чётное. Тогда \(f(-8) = f(8)\), а числа \(3\) и \(8\) лежат в промежутке \([0;\ +\infty)\), где функция возрастает, поэтому из \(3 < 8\) следует \(f(3) < f(8) = f(-8)\) — условие \(f(-8) < f(3)\) не выполняется. Пусть \(n\) нечётное. Тогда \(f(-8) < 0\) и \(f(3) > 0\), то есть \(f(-8) < f(3)\) — условие выполняется. Значит, показатель \(n\) — нечётное число.

3) Пусть \(n\) чётное. Тогда, как в пункте 1), \(f(-8) > f(-3)\) — условие выполняется. Пусть \(n\) нечётное. Функция возрастающая, поэтому из \(-8 < -3\) следует \(f(-8) < f(-3)\) — условие не выполняется. Значит, показатель \(n\) — чётное число.

4) Пусть \(n\) чётное. Тогда, как в пункте 2), \(f(-8) = f(8) > f(3)\) — условие выполняется. Пусть \(n\) нечётное. Тогда \(f(-8) < 0\) и \(f(3) > 0\), то есть \(f(-8) < f(3)\) — условие не выполняется. Значит, показатель \(n\) — чётное число.

Ответ: показатель \(n\) является 1) нечётным числом; 2) нечётным числом; 3) чётным числом; 4) чётным числом.

Обозначим левую часть уравнения через \(f(x) = 3x^6 + 4x^{14}\).

Показатели \(6\) и \(14\) — чётные числа, поэтому \(f(-x) = 3(-x)^6 + 4(-x)^{14} = 3x^6 + 4x^{14} = f(x)\), то есть функция \(f\) чётная.

На промежутке \([0;\ +\infty)\) функция \(f\) возрастает. Действительно, пусть \(0 \leqslant x_1 < x_2\). Степенные функции с чётным показателем возрастают на этом промежутке, поэтому \(x_1^6 < x_2^6\) и \(x_1^{14} < x_2^{14}\), откуда \(3x_1^6 < 3x_2^6\) и \(4x_1^{14} < 4x_2^{14}\), а после почленного сложения \(f(x_1) < f(x_2)\).

Возрастающая функция каждое своё значение принимает не более одного раза, поэтому на промежутке \([0;\ +\infty)\) уравнение \(f(x) = 7\) имеет не более одного корня. Этот корень — число \(1\): \(3 \cdot 1^6 + 4 \cdot 1^{14} = 3 + 4 = 7\).

Пусть теперь \(x < 0\). Функция чётная, поэтому равенство \(f(x) = 7\) равносильно равенству \(f(-x) = 7\), где \(-x > 0\). По доказанному оно выполняется только при \(-x = 1\), то есть при \(x = -1\).

Ответ: \(-1\); \(1\).