Страница 419 номер 1467, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Дана функция \(y = x^2 - 2x - 3\). 1) Построить её график и найти значения \(x\), при которых \(y(x) < 0\). 2) Доказать, что функция возрастает на отрезке \([1;\ 4]\). 3) Найти значение \(x\), при котором функция принимает наименьшее значение. 4) Найти значения \(x\), при которых график функции \(y = x^2 - 2x - 3\) лежит выше графика функции \(y = -2x + 1\). 5) Записать уравнение касательной к параболе \(y = x^2 - 2x - 3\) в точке с абсциссой, равной 2.
1)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & - 2 & - 1 & 1 & 2 \\ \hline y & 5 & 0 & - 4 & - 3 \\ \hline \end{array}\] \(x^{2} - 2x - 3 < 0,\)
Парабола, ветви направлены вверх;
\(x_{1{,}2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2},\)
\(x_{1} = 3, x_{2} = - 1;\)
\(y(x) < 0\) при \(- 1 < x < 3\);
2) \(y'(x) = 2x - 2\)
\(2x - 2 > 0,\)
\(x > 1;\)
При \(x \in ( 1;\ 4]\) \(y'(x) > 0\), функция непрерывна, значит функция возрастает на \([1;\ 4]\);
3) \(y'(x) = 0\)
\(2x - 2 = 0,\)
\(x_{\min} = 1,\)
\(y\left( x_{\min} \right) = 1 - 2 - 3 = - 4;\)
Наименьшее значение в точке \((1; - 4)\);
4) \(x^{2} - 2x - 3 > - 2x + 1\),
\(x^{2} > 4.\)
График функции \(y = x^{2} - 2x - 3\) лежит выше графика функции
\(y = - 2x + 1\) при \(x \in (-\infty; - 2) \cup (2; + \infty)\);
5) \(y = f\left( x_{0} \right) + f'\left( x_{0} \right)\left( x - x_{0} \right)\)
\(f\left( x_{0} \right) = f(2) = - 3,\)
\(f'\left( x_{0} \right) = f'(2) = 2,\)
\(y = - 3 + 2(x - 2) = 2x - 7\) – уравнение касательной в точке \(x_{0} = 2\).
