Страница 417 номер 1451, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Произведение пятого и шестого членов арифметической прогрессии в 33 раза больше произведения её первого и второго членов. Во сколько раз пятый член прогрессии больше второго, если известно, что все члены прогрессии положительны?
Пусть \(a_{1}\) – первый член арифметической прогрессии, а \(d\) – её разность. Тогда
\(\left( a_{1} + 4d \right)\left( a_{1} + 5d \right) = a_{1}\left( a_{1} + d \right) \cdot 33\)
\(a_{1}^{2} + 9da_{1} + 20d^{2} = 33a_{1}^{2} + 33a_{1}d,\)
\(8a_{1}^{2} + 6a_{1}d - 5d^{2} = 0,\)
\(a_{1} = \dfrac{-6d + \sqrt{36d^{2} + 160d^{2}}}{16} = \dfrac{d}{2},\)
Т.к. все члены прогрессии положительны, то \(a_{1} > 0\), \(d \geqslant 0\), поэтому
\(a_{1} = -\frac{5d}{4} \leqslant 0\) – не подходит.
\(\dfrac{a_{5}}{a_{2}} = \dfrac{a_{1} + 4d}{a_{1} + d} = 3.\)
Ответ: Пятый член прогрессии больше второго в 3 раза.
