Страница 420 номер 1474, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(y = \cos{3x}\)
\(\cos{3x} = \cos(3x + 3T),\)
\(3T = 2\pi,\)
\(T = \dfrac{2\pi}{3};\)

2) \(y = \sin\frac{x}{5}\)
\(\sin\dfrac{x}{5} = \sin\left( \dfrac{x}{5} + \dfrac{T}{5} \right),\)
\(\dfrac{T}{5} = 2\pi,\)
\(T = 10\pi;\)

3) \(y = \sin x + \operatorname{tg} x\)

Наименьший период для \(\sin x\) – \(2\pi\). \(2\pi\) также является периодом \(\operatorname{tg} x\).

Пусть \(T\) – период, \(0 < T < 2\pi\), тогда \(y(T) = y(0) = 0\):

\(\sin T + \operatorname{tg} T = \sin T\left(1 + \dfrac{1}{\cos T}\right) = 0,\)
\(\sin T = 0\) или \(\cos T = - 1\), \(T = \pi\);
\(y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1\), \(y\left(\frac{5\pi}{4}\right) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \neq y\left(\frac{\pi}{4}\right)\), значит, \(T = \pi\) – не период.

Следовательно наименьший период функции \(y = \sin x + \operatorname{tg} x\) – \(2\pi\).