Страница 406 номер 1295, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Известно, что \(\operatorname{tg} \alpha = 2\). Найти значение выражения: 1) \(\frac{\sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha + 3\cos \alpha \sin \alpha}\); 2) \(\frac{2 - \sin^2 \alpha}{3 + \cos^2 \alpha}\).
1) \(\frac{\sin^{2}\alpha + \sin\alpha\cos\alpha}{\cos^{2}\alpha + 3\cos\alpha\sin\alpha} = \frac{\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha} + \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^{2}\alpha}}{\frac{\cos^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha} + \frac{3\cos\alpha\sin\alpha}{\cos^{2}\alpha}} = \frac{\operatorname{tg}^{2}\alpha + \operatorname{tg} \alpha}{1 + 3\operatorname{tg} \alpha}\),
\(\dfrac{\operatorname{tg}^{2}\alpha + \operatorname{tg} \alpha}{1 + 3\operatorname{tg} \alpha} = \dfrac{2^{2} + 2}{1 + 3 \cdot 2} = \dfrac{6}{7};\)
2) \(\frac{2 - \sin^{2}\alpha}{3 + \cos^{2}\alpha} = \frac{\frac{2}{\cos^{2}\alpha} - \frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}}{\frac{3}{\cos^{2}\alpha} + \frac{\cos^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}} = \frac{2 + 2\operatorname{tg}^{2}\alpha - \operatorname{tg}^{2}\alpha}{3 + 3\operatorname{tg}^{2}\alpha + 1} = \frac{2 + \operatorname{tg}^{2}\alpha}{4 + 3\operatorname{tg}^{2}\alpha}\),
\(\dfrac{2 + \operatorname{tg}^{2}\alpha}{4 + 3\operatorname{tg}^{2}\alpha} = \dfrac{2 + 2^{2}}{4 + 3 \cdot 2^{2}} = \dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8}.\)
