Страница 406 номер 1293, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Разложить на множители: 1) \(1 + \cos \alpha + \sin \alpha\); 2) \(1 - \cos \alpha - \sin \alpha\); 3) \(3 - 4\sin^2 \alpha\); 4) \(1 - 4\cos^2 \alpha\).
1) \(1 + \cos\alpha + \sin\alpha = 2\cos^{2}\frac{\alpha}{2} + 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} =\)
\(= 2\cos\dfrac{\alpha}{2}\left( \cos\dfrac{\alpha}{2} + \sin\dfrac{\alpha}{2} \right) = 2\sqrt{2}\cos\dfrac{\alpha}{2}\sin\left( \dfrac{\alpha}{2} + \dfrac{\pi}{4} \right);\)
2) \(1 - \cos\alpha - \sin\alpha = 2\sin^{2}\frac{\alpha}{2} - 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} =\)
\(= 2\sin\dfrac{\alpha}{2}\left( \sin\dfrac{\alpha}{2} - \cos\dfrac{\alpha}{2} \right) = 2\sqrt{2}\sin\dfrac{\alpha}{2}\sin\left( \dfrac{\alpha}{2} - \dfrac{\pi}{4} \right);\)
3) \(3 - 4\sin^{2}\alpha = 3 - 4 + 4\cos^{2}\alpha =\)
\(= 4\cos^{2}\alpha - 1 = \left( 2\cos\alpha - 1 \right)\left( 2\cos\alpha + 1 \right);\)
4) \(1 - 4\cos^{2}\alpha = 2\sin^{2}\alpha + 2\cos^{2}\alpha - 1 - 4\cos^{2}\alpha = - 1 - 2\cos{2\alpha} =\)
\(= - 2 \cdot \dfrac{1}{2} - 2\cos{2\alpha} = - 2\left( \cos{2\alpha} - \cos\dfrac{2\pi}{3} \right) =\)
\(= 4\sin\left( \alpha + \dfrac{\pi}{3} \right)\sin\left( \alpha - \dfrac{\pi}{3} \right).\)
