Страница 406 номер 1292, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Доказать тождество \(\frac{\cos^2 x}{1 + \sin x} - \frac{\sin^2 x}{1 - \cos x} = -\sin x - \cos x\).
\(\dfrac{\cos^{2}x}{1 + \sin x} - \dfrac{\sin^{2}x}{1 - \cos x} = - \sin x - \cos x\)
\(\dfrac{\cos^{2}x}{1 + \sin x} - \dfrac{\sin^{2}x}{1 - \cos x} = \dfrac{\cos^{2}x - \cos^{3}x - \sin^{2}x - \sin^{3}x}{\left( 1 + \sin x \right)\left( 1 - \cos x \right)} =\)
\(= \dfrac{\left( \cos x - \sin x \right)\left( \cos x + \sin x \right) - \left( \cos x + \sin x \right)\left( 1 - \sin x\cos x \right)}{\left( 1 + \sin x \right)\left( 1 - \cos x \right)} =\)
\(= \dfrac{\left( \cos x + \sin x \right)\left( \cos x - \sin x - 1 + \sin x\cos x \right)}{\left( 1 + \sin x \right)\left( 1 - \cos x \right)} =\)
\(= \dfrac{\left( \cos x + \sin x \right)\left( \cos x\left( 1 + \sin x \right) - \left( 1 + \sin x \right) \right)}{\left( 1 + \sin x \right)\left( 1 - \cos x \right)} =\)
\(= \dfrac{\left( \cos x + \sin x \right)\left( 1 + \sin x \right)\left( \cos x - 1 \right)}{\left( 1 + \sin x \right)\left( 1 - \cos x \right)} = - \cos x - \sin x.\)
