Страница 407 номер 1301, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Упростить выражение (1297—1302). 1) \(\frac{1 + \cos 2\alpha}{2\cos \alpha}\); 2) \(\frac{\operatorname{tg} \alpha - \sin \alpha}{\operatorname{tg} \alpha + \sin \alpha}\); 3) \(\frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha}\); 4) \(\frac{2\sin 2\alpha + \sin 4\alpha}{2\sin 2\alpha - \sin 4\alpha}\).
1) \(\frac{1 + \cos{2\alpha}}{2\cos\alpha} = \frac{\cos^{2}\alpha + \sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha}{2\cos\alpha} = \frac{2\cos^{2}\alpha}{2\cos\alpha} = \cos\alpha\);
2) \(\frac{\operatorname{tg} \alpha - \sin\alpha}{\operatorname{tg} \alpha + \sin\alpha} = \frac{\sin\alpha - \sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha + \sin\alpha\cos\alpha} = \frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha} = \operatorname{tg}^{2}\frac{\alpha}{2}\);
3) \(\frac{\sin\alpha + \sin{3\alpha} + \sin{5\alpha}}{\cos\alpha + \cos{3\alpha} + \cos{5\alpha}} = \frac{\sin{3\alpha} + 2\sin{3\alpha}\cos{2\alpha}}{\cos{3\alpha} + 2\cos{3\alpha}\cos{2\alpha}} = \frac{\sin{3\alpha}\left( 1 + 2\cos{2\alpha} \right)}{\cos{3\alpha}\left( 1 + 2\cos{2\alpha} \right)} = \operatorname{tg} {3\alpha}\);
4) \(\frac{2\sin{2\alpha} + \sin{4\alpha}}{2\sin{2\alpha} - \sin{4\alpha}} = \frac{2\sin{2\alpha}\left( 1 + \cos{2\alpha} \right)}{2\sin{2\alpha}\left( 1 - \cos{2\alpha} \right)} = \frac{2\cos^{2}\alpha}{2\sin^{2}\alpha} = \operatorname{ctg}^{2}\alpha\).
