Страница 403 номер 1262, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Пусть \(a\) — рациональное число, \(b\) — иррациональное число, \(a \ne 0\), \(b \ne 0\). Доказать, что \(a + b\), \(a \cdot b\), \(\frac{a}{b}\), \(\frac{b}{a}\) — иррациональные числа.
От противного: пусть одно из чисел равно рациональному числу \(r\).
\(a + b = r \Rightarrow b = r - a\) – рациональное число, что неверно, т.е. \(a + b\) – иррациональное число;
\(a \cdot b = r \Rightarrow b = \frac{r}{a}\) – рациональное число, что неверно, т.е. \(a \cdot b\) – иррациональное число;
\(\frac{a}{b} = r \Rightarrow r \neq 0\) (так как \(a \neq 0\)), \(b = \frac{a}{r}\) – рациональное число, что неверно, т.е. \(\frac{a}{b}\) – иррациональное число;
\(\frac{b}{a} = r \Rightarrow b = ar\) – рациональное число, что неверно, т.е. \(\frac{b}{a}\) – иррациональное число.
