Страница 316 номер 1041, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

Глава 10. Интеграл. Упражнения к главе 10. Страница 316. Номер 1041

Задание / условие:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 1) \(y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1\), \(x = 0\), \(y = 6\) (при \(x < 0\)); 2) \(y = x^4 - 2x^2 + 5\), \(y = 1\), \(x = 0\), \(x = 1\).

Решение:

1) \(y = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 1\), \(x = 0\),
\(y = 6\) (при \(x < 0\))
\(x^{3} - 3x^{2} - 9x + 1 = 6,\)
\(x^{3} - 3x^{2} - 9x - 5 = 0,\)
\(x^{2}(x + 1) - 4x(x + 1) - 5(x + 1) = 0,\)
\((x + 1)^{2}(x - 5) = 0,\)
\(x = -1\) (\(x = 5\) не подходит: \(x < 0\));
\(S = S_{1} - S_{2} =\)
\(= \int_{-1}^{0}{\left( 6 - x^{3} + 3x^{2} + 9x - 1 \right)dx} =\)
\(= \left. \ \left( 5x - \dfrac{x^{4}}{4} + x^{3} + \dfrac{9x^{2}}{2} \right) \right|_{-1}^{0} =\)
\(= 5 + \dfrac{1}{4} + 1 - \dfrac{9}{2} = \dfrac{7}{4} = 1\dfrac{3}{4};\)

график

2) \(y = x^{4} - 2x^{2} + 5\), \(y = 1\),
\(x = 0, x = 1\)
\(S = S_{1} - S_{2} = \int_{0}^{1}{\left( x^{4} - 2x^{2} + 4 \right)dx} =\)
\(\left. \ = \left( \dfrac{x^{5}}{5} - \dfrac{2x^{3}}{3} + 4x \right) \right|_{0}^{1} =\)
\(= \dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{3} + 4 = \dfrac{53}{15} = 3\dfrac{8}{15}.\)

график