Страница 308 номер 1017, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями (1014—1023). 1) Параболой \(y = x^2 + 1\) и прямой \(y = 3 - x\); 2) параболой \(y = (x + 2)^2\) и прямой \(y = x + 2\); 3) графиком функции \(y = \sqrt{x}\) и прямой \(y = x\).
1) \(y = x^{2} + 1\), \(y = 3 - x\)
\(x^{2} + 1 = 3 - x, x^{2} + x - 2 = 0,\)
\(x_{1} = - 2, x_{2} = 1;\)
\(S_{1}\) – площадь под графиком \(y = 3 - x\) (красный график);
\(S_{2}\) – площадь под графиком \(y = x^{2} + 1\) (синий график);
\(S = S_{1} - S_{2} =\)
\(= \int_{-2}^{1}{(3 - x)dx} - \int_{-2}^{1}{\left( x^{2} + 1 \right)dx} =\)
\(= \left. \ \left( 3x - \dfrac{x^{2}}{2} \right) \right|_{-2}^{1} - \left. \ \left( \dfrac{x^{3}}{3} + x \right) \right|_{-2}^{1} =\)
\(= 3 - \dfrac{1}{2} + 6 + 2 - \dfrac{1}{3} - 1 - \dfrac{8}{3} - 2 =\)
\(= 5 - \dfrac{1}{2} = 4\dfrac{1}{2};\)
2) \(y = (x + 2)^{2}\), \(y = x + 2\)
\((x + 2)^{2} = x + 2, (x + 2)(x + 1) = 0,\)
\(x_{1} = - 2, x_{2} = - 1;\)
\(S_{1}\) – площадь под графиком \(y = x + 2\) (красный график);
\(S_{2}\) – площадь под графиком \(y = (x + 2)^{2}\) (синий график);
\(S = S_{1} - S_{2} =\)
\(= \int_{-2}^{-1}{(x + 2)dx} - \int_{-2}^{-1}{(x + 2)^{2}dx} =\)
\(= \left. \ \left( \dfrac{x^{2}}{2} + 2x \right) \right|_{-2}^{-1} - \left. \ \left( \dfrac{x^{3}}{3} + 2x^{2} + 4x \right) \right|_{-2}^{-1} =\)
\(= \dfrac{1}{2} - 2 - 2 + 4 - \left(-\dfrac{1}{3} + 2 - 4 + \dfrac{8}{3} - 8 + 8 \right) =\)
\(= \dfrac{1}{2} + 2 - \dfrac{7}{3} = 2 - \dfrac{11}{6} = \dfrac{1}{6};\)
3) \(y = \sqrt{x}\), \(y = x\)
\(\sqrt{x} = x, x = x^{2}, x_{1} = 0, x_{2} = 1;\)
\(S_{1}\) – площадь под графиком \(y = \sqrt{x}\) (синий график);
\(S_{2}\) – площадь под графиком \(y = x\) (красный график);
\(S = S_{1} - S_{2} =\)
\(= \int_{0}^{1}{\sqrt{x}dx} - \int_{0}^{1}{xdx} =\)
\(= \left. \ \dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right|_{0}^{1} - \left. \ \dfrac{x^{2}}{2} \right|_{0}^{1} = \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}.\)
